Introduksjon
Gitt et datasett $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$ som $X_{i}$ og $Y_{i }$ er kontinuerlige, Målet med "Lineær regresjon" er å finne den beste linjen som passer til disse dataene.
Med andre ord, vi ønsker å lage modellen:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$
hvor $p$ er antall dimensjoner til variabelen $X$.
I denne artikkelen vil vi se hvordan du løser dette problemet i tre scenarier:
-
Når X er endimensjonal, dvs. $p=1$.
-
Når X er flerdimensjonal, dvs. $p>1$.
-
Bruker gradientnedstigning.
$X$ er endimensjonal (vanlig minste kvadrat)
Modellen vi ønsker å lage er av form:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$
Husk at målet med lineær regresjon er å finne den linjen som passer best til dataene. Med andre ord må vi minimere avstanden mellom datapunktene og linjen.
$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$
$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$
La oss sette:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$
For å finne minimum, må vi løse følgende ligninger:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$
Vi starter med å utvikle den første ligningen:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$
$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$
Vi erstatter i den andre ligningen:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$
$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$
Vi erstatter tilbake i $a_{0}$:
$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$
$X$ er flerdimensjonal (vanlig minste kvadrat)
I dette tilfellet er $X_{i}$ ikke lenger et reelt tall, men i stedet er det en vektor av størrelsen $p$:
$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$
Så modellen er skrevet som følger:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$
eller det kan skrives i et matriseformat:
$$ \hat{Y} = X.W $$
hvor:
-
$Y$ har formen $(N, 1)$.
-
$X$ har formen $(N, p)$.
-
$W$ har formen $(p, 1)$: dette er parametervektoren $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.
På samme måte som i det første tilfellet, tar vi sikte på å minimere følgende mengde:
$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
La oss igjen si:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$
$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$
$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$
Siden vi ønsker å minimere $L$ med hensyn til $W$, så kan vi ignorere det første ordet "$Y^TY$" fordi det er uavhengig av $W$ og la oss løse følgende ligning:
$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$
$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$
$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$
Bruker gradientnedstigning
Her er formuleringen av gradientnedstigningsalgoritmen:
$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$
Nå trenger vi bare å bruke den på de to parameterne $a_{0}$ og $a_{1}$ (i tilfellet med én variabel $X$):
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$
og vi vet at:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$
Ved erstatning:
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$
Quiz
-
Hva er formelen for den optimale parametervektoren i tilfelle av flerdimensjonal lineær regresjon:
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$
-
$(X^TX)^{-1}X^TY$ "korrekt"
-
Hvorfor setter vi den deriverte til 0?
– Å finne ekstremumet. "riktig"
- For å minimere den deriverte.
– Å bare beholde den reelle delen av den deriverte.
-
Hva er målet med lineær regresjon?
-
Å finne linjen som går forbi alle punktene.
-
For å finne linjen som best beskriver dataene."korrekt"
-
For å finne den linjen som skiller dataene best.
