Regressão linear

Atualizado em June 21, 2024 4 Minutos Leia

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Introdução

Dado um conjunto de dados $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$ como $X_{i}$ e $Y_{i }$ são contínuos. O objetivo da “Regressão Linear” é encontrar a melhor linha que se ajuste a esses dados.

Em outras palavras, queremos criar o modelo:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

onde $p$ é o número de dimensões da variável $X$.

Neste artigo veremos como resolver este problema em três cenários:

  • Quando X é unidimensional, ou seja, $p=1$.

  • Quando X é multidimensional, ou seja, $p>1$.

  • Usando descida gradiente.

$X$ é unidimensional (mínimo quadrado comum)

O modelo que queremos criar tem a seguinte forma:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Lembre-se de que o objetivo da regressão linear é encontrar a reta que melhor se ajusta aos dados. Em outras palavras, precisamos minimizar a distância entre os pontos de dados e a linha.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

Vamos colocar:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

Para encontrar o mínimo, precisamos resolver as seguintes equações:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

Começamos desenvolvendo a primeira equação:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

Substituímos na segunda equação:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

Substituímos de volta em $a_{0}$:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$ é multidimensional (mínimos quadrados comuns)

Neste caso, $X_{i}$ não é mais um número real, mas sim um vetor de tamanho $p$:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Assim, o modelo é escrito da seguinte forma:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

ou pode ser escrito em formato de matriz:

$$ \hat{Y} = X.W $$

onde:

  • $Y$ tem a forma $(N, 1)$.

  • $X$ tem a forma $(N, p)$.

  • $W$ tem a forma $(p, 1)$: este é o vetor de parâmetros $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Da mesma forma que no primeiro caso, pretendemos minimizar a seguinte quantidade:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

Novamente vamos colocar:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

Como queremos minimizar $L$ em relação a $W$, podemos ignorar o primeiro termo “$Y^TY$” porque é independente de $W$ e vamos resolver a seguinte equação:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

Usando gradiente descendente

Aqui está a formulação do algoritmo de descida gradiente:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

Agora basta aplicá-lo nos dois parâmetros $a_{0}$ e $a_{1}$ (no caso de uma variável $X$):

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

e sabemos que:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

Por substituição:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Questionário

  • Qual é a fórmula do vetor de parâmetros ótimos no caso de regressão linear multidimensional:

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ “correto”

  • Por que colocamos a derivada em 0?

  • Para encontrar o extremo. “correto”

  • Para minimizar a derivada.

  • Manter apenas a parte real da derivada.

  • Qual é o objetivo da regressão linear?

  • Para encontrar a linha que passa por todos os pontos.

  • Para encontrar a linha que melhor descreve os dados.”correto”

  • Para encontrar a linha que melhor separa os dados.