Lineær regresjon

Introduksjon

Gitt et datasett $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$ som $X_{i}$ og $Y_{i }$ er kontinuerlige, Målet med "Lineær regresjon" er å finne den beste linjen som passer til disse dataene.

Med andre ord, vi ønsker å lage modellen:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

hvor $p$ er antall dimensjoner til variabelen $X$.

I denne artikkelen vil vi se hvordan du løser dette problemet i tre scenarier:

• Når X er endimensjonal, dvs. $p=1$.

• Når X er flerdimensjonal, dvs. $p>1$.

• Bruker gradientnedstigning.

$X$ er endimensjonal (vanlig minste kvadrat)

Modellen vi ønsker å lage er av form:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Husk at målet med lineær regresjon er å finne den linjen som passer best til dataene. Med andre ord må vi minimere avstanden mellom datapunktene og linjen.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

La oss sette:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

For å finne minimum, må vi løse følgende ligninger:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Vi starter med å utvikle den første ligningen:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Vi erstatter i den andre ligningen:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Vi erstatter tilbake i $a_{0}$:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ er flerdimensjonal (vanlig minste kvadrat)

I dette tilfellet er $X_{i}$ ikke lenger et reelt tall, men i stedet er det en vektor av størrelsen $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Så modellen er skrevet som følger:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

eller det kan skrives i et matriseformat:

$\hat{Y} = X.W$

hvor:

• $Y$ har formen $(N, 1)$.

• $X$ har formen $(N, p)$.

• $W$ har formen $(p, 1)$: dette er parametervektoren $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

På samme måte som i det første tilfellet, tar vi sikte på å minimere følgende mengde:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

La oss igjen si:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Siden vi ønsker å minimere $L$ med hensyn til $W$, så kan vi ignorere det første ordet "$Y^TY$" fordi det er uavhengig av $W$ og la oss løse følgende ligning:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Bruker gradientnedstigning

Her er formuleringen av gradientnedstigningsalgoritmen:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Nå trenger vi bare å bruke den på de to parameterne $a_{0}$ og $a_{1}$ (i tilfellet med én variabel $X$):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

og vi vet at:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

Ved erstatning:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Quiz

• Hva er formelen for den optimale parametervektoren i tilfelle av flerdimensjonal lineær regresjon:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "korrekt"

• Hvorfor setter vi den deriverte til 0?

– Å finne ekstremumet. "riktig"

• For å minimere den deriverte.

– Å bare beholde den reelle delen av den deriverte.

• Hva er målet med lineær regresjon?

• Å finne linjen som går forbi alle punktene.

• For å finne linjen som best beskriver dataene."korrekt"

• For å finne den linjen som skiller dataene best.