Regresja liniowa

Wstęp

Biorąc pod uwagę zbiór danych $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$, taki jak $X_{i}$ i $Y_{i }$ są ciągłe. Celem „regresji liniowej” jest znalezienie najlepszej linii pasującej do tych danych.

Innymi słowy, chcemy stworzyć model:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

gdzie $p$ jest liczbą wymiarów zmiennej $X$.

W tym artykule zobaczymy, jak rozwiązać ten problem w trzech scenariuszach:

• Gdy X jest jednowymiarowe, tj. $p=1$.

• Gdy X jest wielowymiarowe, tj. $p>1$.

• Korzystanie ze zjazdu gradientowego.

$X$ jest jednowymiarowe (zwykła metoda najmniejszych kwadratów)

Model który chcemy stworzyć ma kształt:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Pamiętaj, że celem regresji liniowej jest znalezienie linii, która najlepiej pasuje do danych. Innymi słowy, musimy zminimalizować odległość między punktami danych a linią.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Włóżmy:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Aby znaleźć minimum, musimy rozwiązać następujące równania:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Zaczynamy od opracowania pierwszego równania:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Podstawiamy w drugim równaniu:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Podstawiamy z powrotem w $a_{0}$:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ jest wielowymiarowe (zwykła metoda najmniejszych kwadratów)

W tym przypadku $X_{i}$ nie jest już liczbą rzeczywistą, ale zamiast tego jest wektorem o rozmiarze $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Zatem wzór zapisuje się w następujący sposób:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

lub można to zapisać w formacie macierzowym:

$\hat{Y} = X.W$

Gdzie:

• $Y$ ma kształt $(N, 1)$.

• $X$ ma kształt $(N, p)$.

• $W$ ma kształt $(p, 1)$: jest to wektor parametrów $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Podobnie jak w pierwszym przypadku dążymy do minimalizacji następującej wielkości:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Znów postawmy:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Ponieważ chcemy zminimalizować $L$ względem $W$, możemy zignorować pierwszy wyraz „$Y^TY$”, ponieważ jest on niezależny od $W$ i rozwiążemy następujące równanie:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Używanie opadania gradientowego

Oto sformułowanie algorytmu opadania gradientowego:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Teraz wystarczy zastosować to do dwóch parametrów $a_{0}$ i $a_{1}$ (w przypadku jednej zmiennej $X$):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

i wiemy, że:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

Przez podstawienie:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Kartkówka

• Jaki jest wzór wektora parametrów optymalnych w przypadku wielowymiarowej regresji liniowej:

• \frac{COV(X, Y)}VAR(Y)}

• \frac{COV(X, Y)}VAR(X)}

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "poprawnie"

• Dlaczego podstawiamy pochodną do 0?

• Aby znaleźć ekstremum. "prawidłowy"

• Aby zminimalizować pochodną.

• Aby zachować tylko rzeczywistą część pochodnej.

• Jaki jest cel regresji liniowej?

• Aby znaleźć linię przechodzącą przez wszystkie punkty.

• Aby znaleźć linię, która najlepiej opisuje dane."poprawne"

• Aby znaleźć linię, która najlepiej oddziela dane.