Linjär regression

Introduktion

Givet ett dataset $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$ som $X_{i}$ och $Y_{i }$ är kontinuerliga, Målet med "Linjär regression" är att hitta den bästa linjen som passar denna data.

Med andra ord vill vi skapa modellen:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

där $p$ är antalet dimensioner för variabeln $X$.

I den här artikeln kommer vi att se hur du löser detta problem i tre scenarier:

• När X är endimensionell, dvs $p=1$.

• När X är flerdimensionell, dvs $p>1$.

• Använder gradientnedstigning.

$X$ är endimensionell (vanlig minsta kvadrat)

Modellen som vi vill skapa har formen:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Kom ihåg att målet med linjär regression är att hitta den linje som bäst passar data. Med andra ord måste vi minimera avståndet mellan datapunkterna och linjen.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Låt oss sätta:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

För att hitta minimum måste vi lösa följande ekvationer:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Vi börjar med att utveckla den första ekvationen:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Vi ersätter i den andra ekvationen:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Vi ersätter tillbaka i $a_{0}$:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ är flerdimensionell (vanlig minsta kvadrat)

I det här fallet är $X_{i}$ inte längre ett reellt tal, utan det är istället en vektor av storleken $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Så modellen är skriven som följer:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

eller så kan det skrivas i ett matrisformat:

$\hat{Y} = X.W$

var:

• $Y$ har formen $(N, 1)$.

• $X$ har formen $(N, p)$.

• $W$ har formen $(p, 1)$: detta är parametrarna vektor $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

På samma sätt som i det första fallet strävar vi efter att minimera följande kvantitet:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Låt oss återigen säga:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Eftersom vi vill minimera $L$ med avseende på $W$, då kan vi ignorera den första termen "$Y^TY$" eftersom den är oberoende av $W$ och låt oss lösa följande ekvation:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Använder gradientnedstigning

Här är formuleringen av algoritmen för gradientnedstigning:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Nu behöver vi bara tillämpa det på de två parametrarna $a_{0}$ och $a_{1}$ (i fallet med en variabel $X$):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

och vi vet att:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

Genom byte:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Frågesport

• Vad är formeln för den optimala parametrsvektorn i fallet med flerdimensionell linjär regression:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "korrekt"

• Varför sätter vi derivatan till 0?

– Att hitta extremumet. "korrekt"

• För att minimera derivatan.

– Att bara behålla den verkliga delen av derivatan.

• Vad är syftet med linjär regression?

• Att hitta linjen som passerar förbi alla punkter.

• För att hitta den rad som bäst beskriver data."korrekt"

• Att hitta den linje som bäst skiljer data åt.