Linearna regresija

Uvod

Podan je nabor podatkov $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$, kot sta $X_{i}$ in $Y_{i }$ sta zvezna. Cilj "linearne regresije" je najti najboljšo črto, ki ustreza tem podatkom.

Z drugimi besedami, želimo ustvariti model:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

kjer je $p$ število dimenzij spremenljivke $X$.

V tem članku bomo videli, kako rešiti to težavo v treh scenarijih:

• Ko je X enodimenzionalen, tj. $p=1$.

• Ko je X večdimenzionalen, tj. $p>1$.

• Uporaba gradientnega spusta.

$X$ je enodimenzionalen (običajni najmanjši kvadrat)

Model, ki ga želimo ustvariti, ima obliko:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Ne pozabite, da je cilj linearne regresije najti črto, ki najbolje ustreza podatkom. Z drugimi besedami, zmanjšati moramo razdaljo med podatkovnimi točkami in črto.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Postavimo:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Da bi našli minimum, moramo rešiti naslednje enačbe:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Začnemo z razvojem prve enačbe:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

V drugo enačbo nadomestimo:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Nadomestimo nazaj v $a_{0}$:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ je večdimenzionalen (običajni najmanjši kvadrat)

V tem primeru $X_{i}$ ni več realno število, temveč je vektor velikosti $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Torej, model je zapisan takole:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

ali pa se lahko zapiše v matrični obliki:

$\hat{Y} = X.W$

kje:

• $Y$ ima obliko $(N, 1)$.

• $X$ ima obliko $(N, p)$.

• $W$ ima obliko $(p, 1)$: to je vektor parametrov $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Podobno kot v prvem primeru želimo zmanjšati naslednjo količino:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Še enkrat postavimo:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Ker želimo minimizirati $L$ glede na $W$, potem lahko zanemarimo prvi izraz "$Y^TY$", ker je neodvisen od $W$ in rešimo naslednjo enačbo:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Uporaba gradientnega spuščanja

Tukaj je formulacija algoritma gradientnega spuščanja:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Zdaj ga moramo le uporabiti za dva parametra $a_{0}$ in $a_{1}$ (v primeru ene spremenljivke $X$):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

in vemo, da:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

Z zamenjavo:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Kviz

• Kakšna je formula vektorja optimalnih parametrov v primeru večdimenzionalne linearne regresije:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "pravilno"

• Zakaj postavimo izpeljanko na 0?

• Najti ekstrem. "pravilno"

• Minimizirati izpeljanko.

• Ohraniti samo realni del izpeljanke.

• Kaj je cilj linearne regresije?

• Poiskati črto, ki poteka mimo vseh točk.

• Najti vrstico, ki najbolje opisuje podatke."pravilno"

• Najti črto, ki najbolje ločuje podatke.