Lineārā regresija

Ievads

Dota datu kopa $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$, piemēram, $X_{i}$ un $Y_{i }$ ir nepārtraukti, “Lineārās regresijas” mērķis ir atrast labāko līniju, kas atbilst šiem datiem.

Citiem vārdiem sakot, mēs vēlamies izveidot modeli:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

kur $p$ ir mainīgā $X$ izmēru skaits.

Šajā rakstā mēs redzēsim, kā atrisināt šo problēmu trīs scenārijos:

• Ja X ir viendimensionāls, t.i., $p=1$.

• Ja X ir daudzdimensionāls, t.i., $p>1$.

• Izmantojot gradienta nolaišanos.

$X$ ir viendimensijas (parastais mazākais kvadrāts)

Modelim, kuru vēlamies izveidot, ir šāda forma:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Atcerieties, ka lineārās regresijas mērķis ir atrast līniju, kas vislabāk atbilst datiem. Citiem vārdiem sakot, mums ir jāsamazina attālums starp datu punktiem un līniju.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Liekam:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Lai atrastu minimumu, mums jāatrisina šādi vienādojumi:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Mēs sākam, izstrādājot pirmo vienādojumu:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Mēs aizvietojam otrajā vienādojumā:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Mēs aizstājam atpakaļ $a_{0}$:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ ir daudzdimensionāls (parastais mazākais kvadrāts)

Šajā gadījumā $X_{i}$ vairs nav reāls skaitlis, bet gan $p$ izmēra vektors:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Tātad modelis ir uzrakstīts šādi:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

vai arī to var rakstīt matricas formātā:

$\hat{Y} = X.W$

kur:

• $Y$ ir $(N, 1)$ formā.

• $X$ ir $(N, p)$ formā.

• $W$ ir formas $(p, 1)$: šis ir parametru vektors $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Līdzīgi kā pirmajā gadījumā, mūsu mērķis ir samazināt šādu daudzumu:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Atkal liksim:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Tā kā mēs vēlamies samazināt $L$ attiecībā pret $W$, mēs varam ignorēt pirmo terminu "$Y^TY$", jo tas nav atkarīgs no $W$, un atrisināsim šādu vienādojumu:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Izmantojot gradienta nolaišanos

Šeit ir gradienta nolaišanās algoritma formulējums:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Tagad viss, kas mums jādara, ir jāpiemēro diviem parametriem $a_{0}$ un $a_{1}$ (viena mainīgā $X$ gadījumā):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

un mēs zinām, ka:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

Pēc aizstāšanas:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Viktorīna

• Kāda ir optimālo parametru vektora formula daudzdimensiju lineārās regresijas gadījumā:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "pareizi"

• Kāpēc atvasinājumu liekam uz 0?

• Lai atrastu ekstrēmu. "pareizi"

• Lai samazinātu atvasinājumu.

• Paturēt tikai atvasinājuma reālo daļu.

• Kāds ir lineārās regresijas mērķis?

• Lai atrastu līniju, kas iet gar visiem punktiem.

- Lai atrastu rindiņu, kas vislabāk raksturo datus."pareizi"

• Lai atrastu līniju, kas vislabāk atdala datus.