Regressione lineare

Introduzione

Dato un set di dati $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$ come $X_{i}$ e $Y_{i }$ sono continui. L'obiettivo della "regressione lineare" è trovare la linea migliore che si adatta a questi dati.

In altre parole, vogliamo creare il modello:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

dove $p$ è il numero di dimensioni della variabile $X$.

In questo articolo vedremo come risolvere questo problema in tre scenari:

• Quando X è unidimensionale, ovvero $p=1$.

• Quando X è multidimensionale cioè $p>1$.

• Utilizzando la discesa del gradiente.

$X$ è unidimensionale (minimo quadrato ordinario)

Il modello che vogliamo creare è di forma:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Ricorda che l'obiettivo della regressione lineare è trovare la linea che meglio si adatta ai dati. In altre parole, dobbiamo ridurre al minimo la distanza tra i punti dati e la linea.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Mettiamo:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Per trovare il minimo dobbiamo risolvere le seguenti equazioni:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Iniziamo sviluppando la prima equazione:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Sostituiamo nella seconda equazione:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Sostituiamo di nuovo in $a_{0}$:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ è multidimensionale (minimi quadrati ordinari)

In questo caso, $X_{i}$ non è più un numero reale, ma è invece un vettore di dimensione $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Quindi, il modello è scritto come segue:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

oppure può essere scritto in formato matriciale:

$\hat{Y} = X.W$

Dove:

• $Y$ ha la forma $(N, 1)$.

• $X$ ha la forma $(N, p)$.

• $W$ ha la forma $(p, 1)$: questo è il vettore dei parametri $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Analogamente al primo caso, miriamo a minimizzare la seguente quantità:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Ancora una volta mettiamo:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Poiché vogliamo minimizzare $L$ rispetto a $W$, allora possiamo ignorare il primo termine "$Y^TY$" perché è indipendente da $W$ e risolviamo la seguente equazione:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Utilizzando la discesa del gradiente

Ecco la formulazione dell'algoritmo di discesa del gradiente:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Adesso non resta che applicarlo sui due parametri $a_{0}$ e $a_{1}$ (nel caso di una variabile $X$):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

e sappiamo che:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

Per sostituzione:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

##Quiz

• Qual è la formula del vettore dei parametri ottimali nel caso di regressione lineare multidimensionale:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "corretto"

• Perché mettiamo la derivata a 0?

• Per trovare l'estremo. "corretto"

• Minimizzare la derivata.

• Mantenere solo la parte reale della derivata.

• Qual è l'obiettivo della regressione lineare?

• Trovare la retta che passa per tutti i punti.

• Per trovare la riga che meglio descrive i dati."corretto"

• Trovare la linea che meglio separa i dati.