Γραμμικής παλινδρόμησης

Εισαγωγή

Δεδομένου ενός συνόλου δεδομένων $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$ όπως $X_{i}$ και $Y_{i }$ είναι συνεχείς, Ο στόχος της "Γραμμικής παλινδρόμησης" είναι να βρεθεί η καλύτερη γραμμή που ταιριάζει σε αυτά τα δεδομένα.

Με άλλα λόγια, θέλουμε να δημιουργήσουμε το μοντέλο:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

όπου $p$ είναι ο αριθμός των διαστάσεων της μεταβλητής $X$.

Σε αυτό το άρθρο θα δούμε πώς να λύσουμε αυτό το πρόβλημα σε τρία σενάρια:

• Όταν το X είναι μονοδιάστατο, δηλαδή $p=1$.

• Όταν το X είναι πολυδιάστατο, δηλαδή $p>1$.

• Χρήση κλίσης κατάβασης.

Το ## $X$ είναι μονοδιάστατο (Κανονικό ελάχιστο τετράγωνο)

Το μοντέλο που θέλουμε να δημιουργήσουμε έχει σχήμα:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Θυμηθείτε ότι ο στόχος της γραμμικής παλινδρόμησης είναι να βρεθεί η γραμμή που ταιριάζει καλύτερα στα δεδομένα. Με άλλα λόγια, πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε την απόσταση μεταξύ των σημείων δεδομένων και της γραμμής.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Ας βάλουμε:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Για να βρούμε το ελάχιστο, πρέπει να λύσουμε τις παρακάτω εξισώσεις:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Ξεκινάμε αναπτύσσοντας την πρώτη εξίσωση:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Αντικαθιστούμε ξανά σε $a_{0}$:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

Το ## $X$ είναι πολυδιάστατο (Κανονικό ελάχιστο τετράγωνο)

Σε αυτήν την περίπτωση, το $X_{i}$ δεν είναι πλέον πραγματικός αριθμός, αλλά είναι ένα διάνυσμα μεγέθους $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Έτσι, το μοντέλο γράφεται ως εξής:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

ή, μπορεί να γραφτεί σε μορφή matrix:

$\hat{Y} = X.W$

που:

• Το $Y$ έχει σχήμα $(N, 1)$.

• Το $X$ έχει σχήμα $(N, p)$.

• Το $W$ έχει σχήμα $(p, 1)$: αυτό είναι το διάνυσμα παραμέτρων $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Όπως και στην πρώτη περίπτωση, στοχεύουμε να ελαχιστοποιήσουμε την ακόλουθη ποσότητα:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Και πάλι ας βάλουμε:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Εφόσον θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε το $L$ σε σχέση με το $W$, τότε μπορούμε να αγνοήσουμε τον πρώτο όρο "$Y^TY$" επειδή είναι ανεξάρτητος από το $W$ και ας λύσουμε την ακόλουθη εξίσωση:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Χρήση gradient descent

Εδώ είναι η διατύπωση του αλγόριθμου gradient descent:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Τώρα το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να το εφαρμόσουμε στις δύο παραμέτρους $a_{0}$ και $a_{1}$ (στην περίπτωση μιας μεταβλητής $X$):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

και ξέρουμε ότι:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

Με αντικατάσταση:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Κουίζ

• Ποιος είναι ο τύπος του διανύσματος βέλτιστων παραμέτρων στην περίπτωση πολυδιάστατης γραμμικής παλινδρόμησης:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "σωστό"

• Γιατί βάζουμε την παράγωγο στο 0;

• Να βρω το ακραίο. "σωστός"

• Για την ελαχιστοποίηση της παραγώγου.

• Να διατηρείται μόνο το πραγματικό μέρος της παραγώγου.

• Ποιος είναι ο στόχος της γραμμικής παλινδρόμησης;

• Να βρείτε τη γραμμή που περνάει από όλα τα σημεία.

• Για να βρείτε τη γραμμή που περιγράφει καλύτερα τα δεδομένα."σωστό"

• Για να βρείτε τη γραμμή που διαχωρίζει καλύτερα τα δεδομένα.