Lineare Regression

Einführung

Gegeben sei ein Datensatz $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$ wie $X_{i}$ und $Y_{i }$ sind stetig. Das Ziel der „linearen Regression“ besteht darin, die beste Linie zu finden, die zu diesen Daten passt.

Mit anderen Worten, wir wollen das Modell erstellen:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

wobei $p$ die Anzahl der Dimensionen der Variablen $X$ ist.

In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie dieses Problem in drei Szenarien lösen können:

• Wenn X eindimensional ist, d. h. $p=1$.

• Wenn X mehrdimensional ist, d. h. $p>1$.

• Verwendung des Gradientenabstiegs.

$X$ ist eindimensional (Ordinary Least Square)

Das Modell, das wir erstellen möchten, hat die folgende Form:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Denken Sie daran, dass das Ziel der linearen Regression darin besteht, die Linie zu finden, die am besten zu den Daten passt. Mit anderen Worten: Wir müssen den Abstand zwischen den Datenpunkten und der Linie minimieren.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Sagen wir:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Um das Minimum zu finden, müssen wir die folgenden Gleichungen lösen:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Wir beginnen mit der Entwicklung der ersten Gleichung:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Wir setzen in die zweite Gleichung ein:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Wir ersetzen wieder in $a_{0}$:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ ist mehrdimensional (Ordinary Least Square)

In diesem Fall ist $X_{i}$ keine reelle Zahl mehr, sondern ein Vektor der Größe $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Das Modell ist also wie folgt geschrieben:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

oder es kann in einem Matrixformat geschrieben werden:

$\hat{Y} = X.W$

Wo:

• $Y$ hat die Form $(N, 1)$.

• $X$ hat die Form $(N, p)$.

• $W$ hat die Form $(p, 1)$: Dies ist der Parametervektor $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Ähnlich wie im ersten Fall streben wir die Minimierung der folgenden Menge an:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Sagen wir noch einmal:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Da wir $L$ in Bezug auf $W$ minimieren wollen, können wir den ersten Term „$Y^TY$“ ignorieren, da er unabhängig von $W$ ist, und lösen wir die folgende Gleichung:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Verwenden des Gradientenabstiegs

Hier ist die Formulierung des Gradientenabstiegsalgorithmus:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Jetzt müssen wir es nur noch auf die beiden Parameter $a_{0}$ und $a_{1}$ anwenden (im Fall einer Variablen $X$):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

und das wissen wir:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

Durch Ersatz:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Quiz

• Wie lautet die Formel des optimalen Parametervektors bei mehrdimensionaler linearer Regression:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "richtig"

• Warum setzen wir die Ableitung auf 0?

• Um das Extremum zu finden. "richtig"

• Um die Ableitung zu minimieren.

• Nur den Realteil der Ableitung behalten.

• Was ist das Ziel der linearen Regression?

• Um die Linie zu finden, die durch alle Punkte verläuft.

• Um die Zeile zu finden, die die Daten am besten beschreibt."richtig"

• Um die Linie zu finden, die die Daten am besten trennt.