Regresión lineal

Introducción

Dado un conjunto de datos $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$ como $X_{i}$ y $Y_{i }$ son continuos. El objetivo de la "regresión lineal" es encontrar la mejor línea que se ajuste a estos datos.

En otras palabras, queremos crear el modelo:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

donde $p$ es el número de dimensiones de la variable $X$.

En este artículo veremos cómo solucionar este problema en tres escenarios:

• Cuando X es unidimensional, es decir, $p=1$.

• Cuando X es multidimensional, es decir, $p>1$.

• Usando descenso de gradiente.

$X$ es unidimensional (mínimos cuadrados ordinarios)

El modelo que queremos crear tiene la forma:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Recuerde que el objetivo de la regresión lineal es encontrar la recta que mejor se ajuste a los datos. En otras palabras, necesitamos minimizar la distancia entre los puntos de datos y la línea.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Pongamos:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Para encontrar el mínimo, necesitamos resolver las siguientes ecuaciones:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Comenzamos desarrollando la primera ecuación:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Sustituimos en la segunda ecuación:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Sustituimos nuevamente en $a_{0}$:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ es multidimensional (mínimos cuadrados ordinarios)

En este caso, $X_{i}$ ya no es un número real, sino que es un vector de tamaño $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Entonces, el modelo se escribe de la siguiente manera:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

o puede escribirse en formato matricial:

$\hat{Y} = X.W$

dónde:

• $Y$ tiene la forma $(N, 1)$.

• $X$ tiene la forma $(N, p)$.

• $W$ tiene la forma $(p, 1)$: este es el vector de parámetros $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

De manera similar al primer caso, nuestro objetivo es minimizar la siguiente cantidad:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Nuevamente pongamos:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Como queremos minimizar $L$ con respecto a $W$, entonces podemos ignorar el primer término "$Y^TY$" porque es independiente de $W$ y resolvamos la siguiente ecuación:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Usando descenso de gradiente

Aquí está la formulación del algoritmo de descenso de gradiente:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Ahora todo lo que tenemos que hacer es aplicarlo en los dos parámetros $a_{0}$ y $a_{1}$ (en el caso de una variable $X$):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

y sabemos que:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

Por sustitución:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Prueba

• ¿Cuál es la fórmula del vector de parámetros óptimos en el caso de regresión lineal multidimensional?

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "correcto"

• ¿Por qué ponemos la derivada a 0?

• Encontrar el extremo. "correcto"

• Minimizar la derivada.

• Conservar únicamente la parte real de la derivada.

• ¿Cuál es el objetivo de la regresión lineal?

• Encontrar la recta que pasa por todos los puntos.

• Para encontrar la línea que mejor describa los datos."correcto"

• Encontrar la línea que mejor separa los datos.