Uvod
Podan je nabor podatkov $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$, kot sta $X_{i}$ in $Y_{i }$ sta zvezna. Cilj "linearne regresije" je najti najboljšo črto, ki ustreza tem podatkom.
Z drugimi besedami, želimo ustvariti model:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$
kjer je $p$ število dimenzij spremenljivke $X$.
V tem članku bomo videli, kako rešiti to težavo v treh scenarijih:
-
Ko je X enodimenzionalen, tj. $p=1$.
-
Ko je X večdimenzionalen, tj. $p>1$.
-
Uporaba gradientnega spusta.
$X$ je enodimenzionalen (običajni najmanjši kvadrat)
Model, ki ga želimo ustvariti, ima obliko:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$
Ne pozabite, da je cilj linearne regresije najti črto, ki najbolje ustreza podatkom. Z drugimi besedami, zmanjšati moramo razdaljo med podatkovnimi točkami in črto.
$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$
$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$
Postavimo:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$
Da bi našli minimum, moramo rešiti naslednje enačbe:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$
Začnemo z razvojem prve enačbe:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$
$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$
V drugo enačbo nadomestimo:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$
$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$
Nadomestimo nazaj v $a_{0}$:
$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$
$X$ je večdimenzionalen (običajni najmanjši kvadrat)
V tem primeru $X_{i}$ ni več realno število, temveč je vektor velikosti $p$:
$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$
Torej, model je zapisan takole:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$
ali pa se lahko zapiše v matrični obliki:
$$ \hat{Y} = X.W $$
kje:
-
$Y$ ima obliko $(N, 1)$.
-
$X$ ima obliko $(N, p)$.
-
$W$ ima obliko $(p, 1)$: to je vektor parametrov $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.
Podobno kot v prvem primeru želimo zmanjšati naslednjo količino:
$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
Še enkrat postavimo:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$
$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$
$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$
Ker želimo minimizirati $L$ glede na $W$, potem lahko zanemarimo prvi izraz "$Y^TY$", ker je neodvisen od $W$ in rešimo naslednjo enačbo:
$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$
$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$
$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$
Uporaba gradientnega spuščanja
Tukaj je formulacija algoritma gradientnega spuščanja:
$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$
Zdaj ga moramo le uporabiti za dva parametra $a_{0}$ in $a_{1}$ (v primeru ene spremenljivke $X$):
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$
in vemo, da:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$
Z zamenjavo:
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$
Kviz
-
Kakšna je formula vektorja optimalnih parametrov v primeru večdimenzionalne linearne regresije:
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$
-
$(X^TX)^{-1}X^TY$ "pravilno"
-
Zakaj postavimo izpeljanko na 0?
-
Najti ekstrem. "pravilno"
-
Minimizirati izpeljanko.
-
Ohraniti samo realni del izpeljanke.
-
Kaj je cilj linearne regresije?
-
Poiskati črto, ki poteka mimo vseh točk.
-
Najti vrstico, ki najbolje opisuje podatke."pravilno"
-
Najti črto, ki najbolje ločuje podatke.
