Linear Regression

Nai -update sa September 05, 2024 4 minuto basahin

Linear Regression cover image

Panimula

Binigyan ng dataset na $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$ gaya ng $X_{i}$ at $Y_{i }$ ay tuluy-tuloy, Ang layunin ng “Linear Regression” ay mahanap ang pinakamahusay na linya na akma sa data na ito.

Sa madaling salita, gusto naming lumikha ng modelo:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

kung saan ang $p$ ay ang bilang ng mga sukat ng variable na $X$.

Sa artikulong ito makikita natin kung paano lutasin ang problemang ito sa tatlong sitwasyon:

  • Kapag ang X ay isang dimensional i.e. $p=1$.

  • Kapag ang X ay multi-dimensional i.e. $p>1$.

  • Paggamit ng gradient descent.

Ang $X$ ay isang dimensyon (Ordinary Least Square)

Ang modelo na gusto nating likhain ay may hugis:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Tandaan na ang layunin ng linear regression ay mahanap ang linyang pinakaangkop sa data. Sa madaling salita, kailangan nating i-minimize ang distansya sa pagitan ng mga punto ng data at linya.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

Ilagay natin:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

Upang mahanap ang pinakamababa, kailangan nating lutasin ang mga sumusunod na equation:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

Magsisimula tayo sa pagbuo ng unang equation:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

Pinapalitan namin ang pangalawang equation:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

Pinapalitan namin pabalik sa $a_{0}$:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

Ang $X$ ay multi-dimensional (Ordinary Least Square)

Sa kasong ito, ang $X_{i}$ ay hindi na isang tunay na numero, ngunit sa halip ito ay isang vector na may sukat na $p$:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Kaya, ang modelo ay nakasulat bilang sumusunod:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

o, maaari itong isulat sa isang matrix na format:

$$ \hat{Y} = X.W $$

saan:

  • $Y$ ay may hugis na $(N, 1)$.

  • Ang $X$ ay may hugis na $(N, p)$.

  • Ang $W$ ay may hugis na $(p, 1)$: ito ang mga parameter na vector $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Katulad ng unang kaso, nilalayon naming bawasan ang sumusunod na dami:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

Muli nating ilagay:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

Dahil gusto nating bawasan ang $L$ na may kinalaman sa $W$, maaari nating balewalain ang unang terminong “$Y^TY$” dahil ito ay independiyente sa $W$ at lutasin natin ang sumusunod na equation:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

Paggamit ng gradient descent

Narito ang pagbabalangkas ng gradient descent algorithm:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

Ngayon ang kailangan lang nating gawin ay ilapat ito sa dalawang parameter na $a_{0}$ at $a_{1}$ (sa kaso ng isang variable na $X$):

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

at alam namin na:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

Sa pamamagitan ng pagpapalit:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Pagsusulit

  • Ano ang formula ng pinakamainam na parameter ng vector sa kaso ng multidimensional linear regression:

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ “tama”

  • Bakit natin inilalagay ang derivative sa 0?

  • Upang mahanap ang extremum. “tama”

  • Para mabawasan ang derivative.

  • Upang panatilihin lamang ang tunay na bahagi ng derivative.

  • Ano ang layunin ng linear regression ?

  • Upang mahanap ang linya na dumadaan sa lahat ng mga punto.

  • Upang mahanap ang linyang pinakamahusay na naglalarawan sa data.”tama”

  • Upang mahanap ang linya na pinakamahusay na naghihiwalay sa data.