Panimula
Binigyan ng dataset na $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$ gaya ng $X_{i}$ at $Y_{i }$ ay tuluy-tuloy, Ang layunin ng "Linear Regression" ay mahanap ang pinakamahusay na linya na akma sa data na ito.
Sa madaling salita, gusto naming lumikha ng modelo:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$
kung saan ang $p$ ay ang bilang ng mga sukat ng variable na $X$.
Sa artikulong ito makikita natin kung paano lutasin ang problemang ito sa tatlong sitwasyon:
-
Kapag ang X ay isang dimensional i.e. $p=1$.
-
Kapag ang X ay multi-dimensional i.e. $p>1$.
-
Paggamit ng gradient descent.
Ang $X$ ay isang dimensyon (Ordinary Least Square)
Ang modelo na gusto nating likhain ay may hugis:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$
Tandaan na ang layunin ng linear regression ay mahanap ang linyang pinakaangkop sa data. Sa madaling salita, kailangan nating i-minimize ang distansya sa pagitan ng mga punto ng data at linya.
$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$
$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$
Ilagay natin:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$
Upang mahanap ang pinakamababa, kailangan nating lutasin ang mga sumusunod na equation:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$
Magsisimula tayo sa pagbuo ng unang equation:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$
$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$
Pinapalitan namin ang pangalawang equation:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$
$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$
Pinapalitan namin pabalik sa $a_{0}$:
$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$
Ang $X$ ay multi-dimensional (Ordinary Least Square)
Sa kasong ito, ang $X_{i}$ ay hindi na isang tunay na numero, ngunit sa halip ito ay isang vector na may sukat na $p$:
$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$
Kaya, ang modelo ay nakasulat bilang sumusunod:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$
o, maaari itong isulat sa isang matrix na format:
$$ \hat{Y} = X.W $$
saan:
-
$Y$ ay may hugis na $(N, 1)$.
-
Ang $X$ ay may hugis na $(N, p)$.
-
Ang $W$ ay may hugis na $(p, 1)$: ito ang mga parameter na vector $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.
Katulad ng unang kaso, nilalayon naming bawasan ang sumusunod na dami:
$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
Muli nating ilagay:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$
$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$
$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$
Dahil gusto nating bawasan ang $L$ na may kinalaman sa $W$, maaari nating balewalain ang unang terminong "$Y^TY$" dahil ito ay independiyente sa $W$ at lutasin natin ang sumusunod na equation:
$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$
$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$
$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$
Paggamit ng gradient descent
Narito ang pagbabalangkas ng gradient descent algorithm:
$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$
Ngayon ang kailangan lang nating gawin ay ilapat ito sa dalawang parameter na $a_{0}$ at $a_{1}$ (sa kaso ng isang variable na $X$):
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$
at alam namin na:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$
Sa pamamagitan ng pagpapalit:
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$
Pagsusulit
-
Ano ang formula ng pinakamainam na parameter ng vector sa kaso ng multidimensional linear regression:
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$
-
$(X^TX)^{-1}X^TY$ "tama"
-
Bakit natin inilalagay ang derivative sa 0?
-
Upang mahanap ang extremum. "tama"
-
Para mabawasan ang derivative.
-
Upang panatilihin lamang ang tunay na bahagi ng derivative.
-
Ano ang layunin ng linear regression ?
-
Upang mahanap ang linya na dumadaan sa lahat ng mga punto.
-
Upang mahanap ang linyang pinakamahusay na naglalarawan sa data."tama"
-
Upang mahanap ang linya na pinakamahusay na naghihiwalay sa data.
