Linear Regression

Panimula

Binigyan ng dataset na $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$ gaya ng $X_{i}$ at $Y_{i }$ ay tuluy-tuloy, Ang layunin ng "Linear Regression" ay mahanap ang pinakamahusay na linya na akma sa data na ito.

Sa madaling salita, gusto naming lumikha ng modelo:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

kung saan ang $p$ ay ang bilang ng mga sukat ng variable na $X$.

Sa artikulong ito makikita natin kung paano lutasin ang problemang ito sa tatlong sitwasyon:

• Kapag ang X ay isang dimensional i.e. $p=1$.

• Kapag ang X ay multi-dimensional i.e. $p>1$.

• Paggamit ng gradient descent.

Ang $X$ ay isang dimensyon (Ordinary Least Square)

Ang modelo na gusto nating likhain ay may hugis:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Tandaan na ang layunin ng linear regression ay mahanap ang linyang pinakaangkop sa data. Sa madaling salita, kailangan nating i-minimize ang distansya sa pagitan ng mga punto ng data at linya.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Ilagay natin:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Upang mahanap ang pinakamababa, kailangan nating lutasin ang mga sumusunod na equation:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Magsisimula tayo sa pagbuo ng unang equation:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Pinapalitan namin ang pangalawang equation:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Pinapalitan namin pabalik sa $a_{0}$:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

Ang $X$ ay multi-dimensional (Ordinary Least Square)

Sa kasong ito, ang $X_{i}$ ay hindi na isang tunay na numero, ngunit sa halip ito ay isang vector na may sukat na $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Kaya, ang modelo ay nakasulat bilang sumusunod:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

o, maaari itong isulat sa isang matrix na format:

$\hat{Y} = X.W$

saan:

• $Y$ ay may hugis na $(N, 1)$.

• Ang $X$ ay may hugis na $(N, p)$.

• Ang $W$ ay may hugis na $(p, 1)$: ito ang mga parameter na vector $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Katulad ng unang kaso, nilalayon naming bawasan ang sumusunod na dami:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Muli nating ilagay:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Dahil gusto nating bawasan ang $L$ na may kinalaman sa $W$, maaari nating balewalain ang unang terminong "$Y^TY$" dahil ito ay independiyente sa $W$ at lutasin natin ang sumusunod na equation:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Paggamit ng gradient descent

Narito ang pagbabalangkas ng gradient descent algorithm:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Ngayon ang kailangan lang nating gawin ay ilapat ito sa dalawang parameter na $a_{0}$ at $a_{1}$ (sa kaso ng isang variable na $X$):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

at alam namin na:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

Sa pamamagitan ng pagpapalit:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Pagsusulit

• Ano ang formula ng pinakamainam na parameter ng vector sa kaso ng multidimensional linear regression:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "tama"

• Bakit natin inilalagay ang derivative sa 0?

• Upang mahanap ang extremum. "tama"

• Para mabawasan ang derivative.

• Upang panatilihin lamang ang tunay na bahagi ng derivative.

• Ano ang layunin ng linear regression ?

• Upang mahanap ang linya na dumadaan sa lahat ng mga punto.

• Upang mahanap ang linyang pinakamahusay na naglalarawan sa data."tama"

• Upang mahanap ang linya na pinakamahusay na naghihiwalay sa data.