선형 회귀

수학
선형회귀

August 02, 2024에서 업데이트206 분을 읽습니다

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소개

XiX_{i} 및 Y_{i와 같은 데이터 세트 D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}가 주어지면 }는 연속형입니다. "선형 회귀"의 목표는 이 데이터에 가장 적합한 선을 찾는 것입니다.

즉, 우리는 모델을 생성하고 싶습니다:

y^=a∗0+a∗1.x∗1+⋯+a∗p.x_p\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}

여기서 pp는 변수 XX의 차원 수입니다.

이 문서에서는 세 가지 시나리오에서 이 문제를 해결하는 방법을 살펴보겠습니다.

  • X가 1차원인 경우, 즉 p=1p=1.

  • X가 다차원인 경우, 즉 p>1p>1.

  • 경사하강법을 사용합니다.

XX는 1차원(보통 최소 제곱)입니다.

우리가 만들고자 하는 모델의 모양은 다음과 같습니다.

y^=a∗0+a∗1.x\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x

선형 회귀의 목표는 데이터에 가장 적합한 선을 찾는 것임을 기억하십시오. 즉, 데이터 포인트와 선 사이의 거리를 최소화해야 합니다.

(a∗0^,a∗1^)=argmin⁡(a∗0,a∗1)∑∗i=1N(y∗i−y∗i^)2(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2

=argmin⁡(a∗0,a∗1)∑∗i=1N(y∗i−(a∗0+a∗1.x∗i))2= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2

넣어 보자 :

L=∑∗i=1N(y∗i−(a∗0+a∗1.x_i))2L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2

최소값을 찾으려면 다음 방정식을 풀어야 합니다.

{∂L∂a0=0∂L∂a1=0\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}
{∑i=1N−2(yi−(a0+a1.xi))=0∑i=1N−2xi(yi−(a0+a1.xi))=0\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}

첫 번째 방정식을 개발하는 것부터 시작합니다.

∑i=1Nyi−∑i=1Na0+∑i=1Na1.xi=0\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\
∑i=1Nyi−Na0+∑i=1Na1.xi=0\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\
a0=∑i=1NyiN−∑i=1NxiNa1a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}
a0=Y−Xa1a_{0} = Y - Xa_{1}

우리는 두 번째 방정식을 다음과 같이 대체합니다.

∑i=1Nxi(yi−Y+Xa1−a1xi)=0\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0
∑i=1N(yi−Y)+a1(X−xi)=0\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0
∑i=1N(yi−Y)−∑i=1Na1(xi−X)=0\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0
a1=∑i=1N(yi−Y)∑i=1N(xi−X)=∑i=1N(yi−Y)(xi−X)∑i=1N(xi−X)2=COV(X,Y)VAR(X)a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}

a0a_{0}로 다시 대체합니다.

{a0=Y−XCOV(X,Y)VAR(X)a1=COV(X,Y)VAR(X)\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}

XX는 다차원입니다(보통 최소 제곱).

이 경우 XiX_{i}는 더 이상 실수가 아니지만 대신 pp 크기의 벡터입니다.

X∗i=(X∗i1,X∗i2,…,X∗ip)X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})

따라서 모델은 다음과 같이 작성됩니다.

y^=a∗0+a∗1x∗1+a∗2x∗2+⋯+a∗px_p\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}

또는 행렬 형식으로 작성할 수 있습니다.

Y^=X.W\hat{Y} = X.W

어디:

  • YY는 (N,1)(N, 1) 모양입니다.

  • XX는 (N,p)(N, p) 모양입니다.

  • WW는 (p,1)(p, 1) 모양입니다. 이는 매개변수 벡터 (w1,w2,…,wp)(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})입니다.

첫 번째 경우와 유사하게 다음 수량을 최소화하는 것을 목표로 합니다.

W^=argmin⁡W∑∗i=1N(y∗i−y_i^)2\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2

다시 한번 넣어보자:

L=∑∗i=1N(y∗i−y_i^)2L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2

=(Y−XW)T(Y−XW)= (Y-XW)^{T}(Y-XW)
=YTY−YTXW−WTXTY+WTXTXW= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW
=YTY−2WTXTY+WTXTXW= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW

WW에 대해 LL을 최소화하려고 하므로 첫 번째 항인 "YTYY^TY"는 WW와 독립이므로 무시하고 다음 방정식을 풀어보겠습니다.

∂(−2WTXTY+WTXTXW)∂W=0\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0
−2XTY+2XTXW^=0-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0
W^=(XTX)−1XTY\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY

경사하강법 사용

경사하강법 알고리즘의 공식은 다음과 같습니다.

w∗n+1=w∗n−lr×∂f∂w_nw*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}

이제 우리가 해야 할 일은 두 매개변수 a0a_{0} 및 a1a_{1}(하나의 변수 XX의 경우)에 이를 적용하는 것뿐입니다.

{a0(n+1)=a0(n)−lr×∂L∂a0a1(n+1)=a1(n)−lr×∂L∂a1\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}

그리고 우리는 다음을 알고 있습니다:

{∂L∂a0=∑i=1N−2(yi−(a0+a1.xi))∂L∂a1=∑i=1N−2xi(yi−(a0+a1.xi))\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}

대체:

{a0(n+1)=a0(n)+2×lr×∑i=1N(yi−(a0(n)+a1(n).xi))a1(n+1)=a1(n)+2×lr×∑i=1Nxi(yi−(a0(n)+a1(n).xi))\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}

퀴즈

  • 다차원 선형 회귀의 경우 최적 매개변수 벡터의 공식은 무엇입니까?

  • COV(X,Y)VAR(Y)\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}

  • COV(X,Y)VAR(X)\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}

  • (XTX)−1XTY(X^TX)^{-1}X^TY "맞습니다"

  • 왜 미분값을 0으로 두나요?

  • 극한점을 찾는다. "옳은"

  • 미분을 최소화합니다.

  • 파생상품의 실수부분만 유지합니다.

  • 선형회귀의 목적은 무엇인가?

  • 모든 점을 지나는 선을 찾으려면.

  • 데이터를 가장 잘 설명하는 행을 찾습니다."올바른"

  • 데이터를 가장 잘 구분하는 선을 찾으려면.

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