선형 회귀

August 02, 2024에서 업데이트 3 분을 읽습니다

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소개

$X_{i}$ 및 $Y_{i와 같은 데이터 세트 $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$가 주어지면 }$는 연속형입니다. “선형 회귀”의 목표는 이 데이터에 가장 적합한 선을 찾는 것입니다.

즉, 우리는 모델을 생성하고 싶습니다:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

여기서 $p$는 변수 $X$의 차원 수입니다.

이 문서에서는 세 가지 시나리오에서 이 문제를 해결하는 방법을 살펴보겠습니다.

  • X가 1차원인 경우, 즉 $p=1$.

  • X가 다차원인 경우, 즉 $p>1$.

  • 경사하강법을 사용합니다.

$X$는 1차원(보통 최소 제곱)입니다.

우리가 만들고자 하는 모델의 모양은 다음과 같습니다.

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

선형 회귀의 목표는 데이터에 가장 적합한 선을 찾는 것임을 기억하십시오. 즉, 데이터 포인트와 선 사이의 거리를 최소화해야 합니다.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

넣어 보자 :

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

최소값을 찾으려면 다음 방정식을 풀어야 합니다.

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

첫 번째 방정식을 개발하는 것부터 시작합니다.

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

우리는 두 번째 방정식을 다음과 같이 대체합니다.

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

$a_{0}$로 다시 대체합니다.

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$는 다차원입니다(보통 최소 제곱).

이 경우 $X_{i}$는 더 이상 실수가 아니지만 대신 $p$ 크기의 벡터입니다.

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

따라서 모델은 다음과 같이 작성됩니다.

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

또는 행렬 형식으로 작성할 수 있습니다.

$$ \hat{Y} = X.W $$

어디:

  • $Y$는 $(N, 1)$ 모양입니다.

  • $X$는 $(N, p)$ 모양입니다.

  • $W$는 $(p, 1)$ 모양입니다. 이는 매개변수 벡터 $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$입니다.

첫 번째 경우와 유사하게 다음 수량을 최소화하는 것을 목표로 합니다.

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

다시 한번 넣어보자:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$W$에 대해 $L$을 최소화하려고 하므로 첫 번째 항인 “$Y^TY$“는 $W$와 독립이므로 무시하고 다음 방정식을 풀어보겠습니다.

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

경사하강법 사용

경사하강법 알고리즘의 공식은 다음과 같습니다.

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

이제 우리가 해야 할 일은 두 매개변수 $a_{0}$ 및 $a_{1}$(하나의 변수 $X$의 경우)에 이를 적용하는 것뿐입니다.

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

그리고 우리는 다음을 알고 있습니다:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

대체:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

퀴즈

  • 다차원 선형 회귀의 경우 최적 매개변수 벡터의 공식은 무엇입니까?

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ “맞습니다”

  • 왜 미분값을 0으로 두나요?

  • 극한점을 찾는다. “옳은”

  • 미분을 최소화합니다.

  • 파생상품의 실수부분만 유지합니다.

  • 선형회귀의 목적은 무엇인가?

  • 모든 점을 지나는 선을 찾으려면.

  • 데이터를 가장 잘 설명하는 행을 찾습니다.”올바른”

  • 데이터를 가장 잘 구분하는 선을 찾으려면.