Xətti reqressiya

riyaziyyat
xətti reqressiya

November 15, 2024 yeniləndi212 dəqiqə oxundu

Xətti reqressiya cover image

Giriş

D={(X1,Y2),\no¨qtələr,(XN,YN)}D = \{(X_{1}, Y_{2}), \nöqtələr,(X_{N}, Y_{N})\} data dəsti verilmişdir, məsələn, XiX_{i} və YiY_{i } davamlıdır, "Xətti Reqressiyanın" məqsədi bu məlumatlara uyğun gələn ən yaxşı xətti tapmaqdır.

Başqa sözlə, biz modeli yaratmaq istəyirik:

y^=a∗0+a∗1.x∗1+⋯+a∗p.x_p\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}

burada pp XX dəyişəninin ölçülərinin sayıdır.

Bu yazıda bu problemi üç ssenaridə necə həll edəcəyimizi görəcəyik:

  • X bir ölçülü olduqda, yəni p=1p=1.

  • X çoxölçülü olduqda, yəni p>1p>1.

  • Qradiyent enişdən istifadə.

XX bir ölçülüdür (Adi Ən Kiçik Kvadrat)

Yaratmaq istədiyimiz model formadır:

y^=a∗0+a∗1.x\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x

Unutmayın ki, xətti reqressiyanın məqsədi verilənlərə ən yaxşı uyğun gələn xətti tapmaqdır. Başqa sözlə, məlumat nöqtələri ilə xətt arasındakı məsafəni minimuma endirməliyik.

(a∗0^,a∗1^)=argmin⁡(a∗0,a∗1)∑∗i=1N(y∗i−y∗i^)2(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2

=argmin⁡(a∗0,a∗1)∑∗i=1N(y∗i−(a∗0+a∗1.x∗i))2= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2

qoyaq:

L=∑∗i=1N(y∗i−(a∗0+a∗1.x_i))2L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2

Minimumu tapmaq üçün aşağıdakı tənlikləri həll etməliyik:

{∂L∂a0=0∂L∂a1=0\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}
{∑i=1N−2(yi−(a0+a1.xi))=0∑i=1N−2xi(yi−(a0+a1.xi))=0\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}

Birinci tənliyi inkişaf etdirməyə başlayırıq:

∑i=1Nyi−∑i=1Na0+∑i=1Na1.xi=0\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\
∑i=1Nyi−Na0+∑i=1Na1.xi=0\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\
a0=∑i=1NyiN−∑i=1NxiNa1a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}
a0=Y−Xa1a_{0} = Y - Xa_{1}

İkinci tənlikdə əvəz edirik:

∑i=1Nxi(yi−Y+Xa1−a1xi)=0\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0
∑i=1N(yi−Y)+a1(X−xi)=0\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0
∑i=1N(yi−Y)−∑i=1Na1(xi−X)=0\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0
a1=∑i=1N(yi−Y)∑i=1N(xi−X)=∑i=1N(yi−Y)(xi−X)∑i=1N(xi−X)2=COV(X,Y)VAR(X)a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}

Biz a0a_{0} ilə əvəz edirik:

{a0=Y−XCOV(X,Y)VAR(X)a1=COV(X,Y)VAR(X)\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}

XX çoxölçülüdür (Adi Ən Kiçik Kvadrat)

Bu halda, XiX_{i} artıq həqiqi ədəd deyil, bunun əvəzinə pp ölçülü vektordur:

X∗i=(X∗i1,X∗i2,…,X∗ip)X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})

Beləliklə, model aşağıdakı kimi yazılır:

y^=a∗0+a∗1x∗1+a∗2x∗2+⋯+a∗px_p\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}

və ya matris formatında yazıla bilər:

Y^=X.W\hat{Y} = X.W

harada:

  • YY (N,1)(N, 1) şəklindədir.

  • XX (N,p)(N, p) şəklindədir.

  • WW (p,1)(p, 1) şəklindədir: bu, (w1,w2,…,wp)(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p}) parametr vektorudur.

Birinci halda olduğu kimi, biz də aşağıdakı miqdarı minimuma endirməyi hədəfləyirik:

W^=argmin⁡W∑∗i=1N(y∗i−y_i^)2\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2

Yenə də deyək:

L=∑∗i=1N(y∗i−y_i^)2L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2

=(Y−XW)T(Y−XW)= (Y-XW)^{T}(Y-XW)
=YTY−YTXW−WTXTY+WTXTXW= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW
=YTY−2WTXTY+WTXTXW= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW

Biz WW-a nisbətdə LL-nı minimuma endirmək istədiyimiz üçün ilk "YTYY^TY" terminini nəzərə almaya bilərik, çünki o, WW-dan müstəqildir və gəlin aşağıdakı tənliyi həll edək:

∂(−2WTXTY+WTXTXW)∂W=0\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0
−2XTY+2XTXW^=0-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0
W^=(XTX)−1XTY\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY

Qradiyent enişdən istifadə

Budur gradient eniş alqoritminin tərtibi:

w∗n+1=w∗n−lr×∂f∂w_nw*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}

İndi etməli olduğumuz yeganə şey onu a0a_{0} və a1a_{1} iki parametrinə tətbiq etməkdir (bir dəyişən XX vəziyyətində):

{a0(n+1)=a0(n)−lr×∂L∂a0a1(n+1)=a1(n)−lr×∂L∂a1\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}

və biz bunu bilirik:

{∂L∂a0=∑i=1N−2(yi−(a0+a1.xi))∂L∂a1=∑i=1N−2xi(yi−(a0+a1.xi))\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}

Əvəz etməklə:

{a0(n+1)=a0(n)+2×lr×∑i=1N(yi−(a0(n)+a1(n).xi))a1(n+1)=a1(n)+2×lr×∑i=1Nxi(yi−(a0(n)+a1(n).xi))\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}

Viktorina

  • Çoxölçülü xətti reqressiya zamanı optimal parametrlər vektorunun düsturu nədir:

  • COV(X,Y)VAR(Y)\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}

  • COV(X,Y)VAR(X)\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}

  • (XTX)−1XTY(X^TX)^{-1}X^TY "düzgün"

  • Törəməni niyə 0-a qoyuruq?

  • Ekstremumu tapmaq üçün. "doğru"

  • Törəməni minimuma endirmək.

  • Törəmənin yalnız real hissəsini saxlamaq.

  • Xətti reqressiyanın məqsədi nədir?

  • Bütün nöqtələrdən keçən xətti tapmaq.

  • Məlumatı ən yaxşı təsvir edən xətti tapmaq üçün."düzgün"

  • Məlumatları ən yaxşı ayıran xətti tapmaq üçün.

Dərs yoxdur? Problem yoxdur – Code Labs Academy ilə Məlumat Alimi ol.

Bir texnoloji karyeranı nəzərdən keçirin - CLA-nın onlayn bootcamps haqqında daha çox məlumat əldə edin

Career Services background pattern

Karyera Xidmətləri

Contact Section background image

Əlaqə saxlayaq

Ümumi baxış

Haqqında

Kurslar

Hüquqşünaslar

BİZİMLE ƏLAQƏ

BİZİ İZLƏYİN:

Code Labs Academy © 2025 Bütün hüquqlar qorunur.