Giriş
$D = {(X_{1}, Y_{2}), \nöqtələr,(X_{N}, Y_{N})}$ data dəsti verilmişdir, məsələn, $X_{i}$ və $Y_{i }$ davamlıdır, "Xətti Reqressiyanın" məqsədi bu məlumatlara uyğun gələn ən yaxşı xətti tapmaqdır.
Başqa sözlə, biz modeli yaratmaq istəyirik:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$
burada $p$ $X$ dəyişəninin ölçülərinin sayıdır.
Bu yazıda bu problemi üç ssenaridə necə həll edəcəyimizi görəcəyik:
-
X bir ölçülü olduqda, yəni $p=1$.
-
X çoxölçülü olduqda, yəni $p>1$.
-
Qradiyent enişdən istifadə.
$X$ bir ölçülüdür (Adi Ən Kiçik Kvadrat)
Yaratmaq istədiyimiz model formadır:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$
Unutmayın ki, xətti reqressiyanın məqsədi verilənlərə ən yaxşı uyğun gələn xətti tapmaqdır. Başqa sözlə, məlumat nöqtələri ilə xətt arasındakı məsafəni minimuma endirməliyik.
$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$
$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$
qoyaq:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$
Minimumu tapmaq üçün aşağıdakı tənlikləri həll etməliyik:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$
Birinci tənliyi inkişaf etdirməyə başlayırıq:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$
$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$
İkinci tənlikdə əvəz edirik:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$
$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$
Biz $a_{0}$ ilə əvəz edirik:
$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$
$X$ çoxölçülüdür (Adi Ən Kiçik Kvadrat)
Bu halda, $X_{i}$ artıq həqiqi ədəd deyil, bunun əvəzinə $p$ ölçülü vektordur:
$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$
Beləliklə, model aşağıdakı kimi yazılır:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$
və ya matris formatında yazıla bilər:
$$ \hat{Y} = X.W $$
harada:
-
$Y$ $(N, 1)$ şəklindədir.
-
$X$ $(N, p)$ şəklindədir.
-
$W$ $(p, 1)$ şəklindədir: bu, $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$ parametr vektorudur.
Birinci halda olduğu kimi, biz də aşağıdakı miqdarı minimuma endirməyi hədəfləyirik:
$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
Yenə də deyək:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$
$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$
$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$
Biz $W$-a nisbətdə $L$-nı minimuma endirmək istədiyimiz üçün ilk "$Y^TY$" terminini nəzərə almaya bilərik, çünki o, $W$-dan müstəqildir və gəlin aşağıdakı tənliyi həll edək:
$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$
$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$
$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$
Qradiyent enişdən istifadə
Budur gradient eniş alqoritminin tərtibi:
$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$
İndi etməli olduğumuz yeganə şey onu $a_{0}$ və $a_{1}$ iki parametrinə tətbiq etməkdir (bir dəyişən $X$ vəziyyətində):
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$
və biz bunu bilirik:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$
Əvəz etməklə:
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$
Viktorina
-
Çoxölçülü xətti reqressiya zamanı optimal parametrlər vektorunun düsturu nədir:
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$
-
$(X^TX)^{-1}X^TY$ "düzgün"
-
Törəməni niyə 0-a qoyuruq?
-
Ekstremumu tapmaq üçün. "doğru"
-
Törəməni minimuma endirmək üçün.
-
Törəmənin yalnız real hissəsini saxlamaq.
-
Xətti reqressiyanın məqsədi nədir?
-
Bütün nöqtələrdən keçən xətti tapmaq.
-
Məlumatı ən yaxşı təsvir edən xətti tapmaq üçün."düzgün"
-
Məlumatları ən yaxşı ayıran xətti tapmaq üçün.
