Xətti reqressiya

Giriş

$D = \{(X_{1}, Y_{2}), \nöqtələr,(X_{N}, Y_{N})\}$ data dəsti verilmişdir, məsələn, $X_{i}$ və $Y_{i }$ davamlıdır, "Xətti Reqressiyanın" məqsədi bu məlumatlara uyğun gələn ən yaxşı xətti tapmaqdır.

Başqa sözlə, biz modeli yaratmaq istəyirik:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

burada $p$ $X$ dəyişəninin ölçülərinin sayıdır.

Bu yazıda bu problemi üç ssenaridə necə həll edəcəyimizi görəcəyik:

• X bir ölçülü olduqda, yəni $p=1$.

• X çoxölçülü olduqda, yəni $p>1$.

• Qradiyent enişdən istifadə.

$X$ bir ölçülüdür (Adi Ən Kiçik Kvadrat)

Yaratmaq istədiyimiz model formadır:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Unutmayın ki, xətti reqressiyanın məqsədi verilənlərə ən yaxşı uyğun gələn xətti tapmaqdır. Başqa sözlə, məlumat nöqtələri ilə xətt arasındakı məsafəni minimuma endirməliyik.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

qoyaq:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Minimumu tapmaq üçün aşağıdakı tənlikləri həll etməliyik:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Birinci tənliyi inkişaf etdirməyə başlayırıq:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

İkinci tənlikdə əvəz edirik:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Biz $a_{0}$ ilə əvəz edirik:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ çoxölçülüdür (Adi Ən Kiçik Kvadrat)

Bu halda, $X_{i}$ artıq həqiqi ədəd deyil, bunun əvəzinə $p$ ölçülü vektordur:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Beləliklə, model aşağıdakı kimi yazılır:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

və ya matris formatında yazıla bilər:

$\hat{Y} = X.W$

harada:

• $Y$ $(N, 1)$ şəklindədir.

• $X$ $(N, p)$ şəklindədir.

• $W$ $(p, 1)$ şəklindədir: bu, $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$ parametr vektorudur.

Birinci halda olduğu kimi, biz də aşağıdakı miqdarı minimuma endirməyi hədəfləyirik:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Yenə də deyək:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Biz $W$-a nisbətdə $L$-nı minimuma endirmək istədiyimiz üçün ilk "$Y^TY$" terminini nəzərə almaya bilərik, çünki o, $W$-dan müstəqildir və gəlin aşağıdakı tənliyi həll edək:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Qradiyent enişdən istifadə

Budur gradient eniş alqoritminin tərtibi:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

İndi etməli olduğumuz yeganə şey onu $a_{0}$ və $a_{1}$ iki parametrinə tətbiq etməkdir (bir dəyişən $X$ vəziyyətində):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

və biz bunu bilirik:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

Əvəz etməklə:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Viktorina

• Çoxölçülü xətti reqressiya zamanı optimal parametrlər vektorunun düsturu nədir:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "düzgün"

• Törəməni niyə 0-a qoyuruq?

• Ekstremumu tapmaq üçün. "doğru"

• Törəməni minimuma endirmək.

• Törəmənin yalnız real hissəsini saxlamaq.

• Xətti reqressiyanın məqsədi nədir?

• Bütün nöqtələrdən keçən xətti tapmaq.

• Məlumatı ən yaxşı təsvir edən xətti tapmaq üçün."düzgün"

• Məlumatları ən yaxşı ayıran xətti tapmaq üçün.

---

Dərs yoxdur? Problem yoxdur – Code Labs Academy ilə Məlumat Alimi ol.