Xətti reqressiya

November 15, 2024 yeniləndi 4 dəqiqə oxundu

Xətti reqressiya cover image

Giriş

$D = {(X_{1}, Y_{2}), \nöqtələr,(X_{N}, Y_{N})}$ data dəsti verilmişdir, məsələn, $X_{i}$ və $Y_{i }$ davamlıdır, “Xətti Reqressiyanın” məqsədi bu məlumatlara uyğun gələn ən yaxşı xətti tapmaqdır.

Başqa sözlə, biz modeli yaratmaq istəyirik:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

burada $p$ $X$ dəyişəninin ölçülərinin sayıdır.

Bu yazıda bu problemi üç ssenaridə necə həll edəcəyimizi görəcəyik:

  • X bir ölçülü olduqda, yəni $p=1$.

  • X çoxölçülü olduqda, yəni $p>1$.

  • Qradiyent enişdən istifadə.

$X$ bir ölçülüdür (Adi Ən Kiçik Kvadrat)

Yaratmaq istədiyimiz model formadır:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Unutmayın ki, xətti reqressiyanın məqsədi verilənlərə ən yaxşı uyğun gələn xətti tapmaqdır. Başqa sözlə, məlumat nöqtələri ilə xətt arasındakı məsafəni minimuma endirməliyik.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

qoyaq:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

Minimumu tapmaq üçün aşağıdakı tənlikləri həll etməliyik:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

Birinci tənliyi inkişaf etdirməyə başlayırıq:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

İkinci tənlikdə əvəz edirik:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

Biz $a_{0}$ ilə əvəz edirik:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$ çoxölçülüdür (Adi Ən Kiçik Kvadrat)

Bu halda, $X_{i}$ artıq həqiqi ədəd deyil, bunun əvəzinə $p$ ölçülü vektordur:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Beləliklə, model aşağıdakı kimi yazılır:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

və ya matris formatında yazıla bilər:

$$ \hat{Y} = X.W $$

harada:

  • $Y$ $(N, 1)$ şəklindədir.

  • $X$ $(N, p)$ şəklindədir.

  • $W$ $(p, 1)$ şəklindədir: bu, $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$ parametr vektorudur.

Birinci halda olduğu kimi, biz də aşağıdakı miqdarı minimuma endirməyi hədəfləyirik:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

Yenə də deyək:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

Biz $W$-a nisbətdə $L$-nı minimuma endirmək istədiyimiz üçün ilk “$Y^TY$” terminini nəzərə almaya bilərik, çünki o, $W$-dan müstəqildir və gəlin aşağıdakı tənliyi həll edək:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

Qradiyent enişdən istifadə

Budur gradient eniş alqoritminin tərtibi:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

İndi etməli olduğumuz yeganə şey onu $a_{0}$ və $a_{1}$ iki parametrinə tətbiq etməkdir (bir dəyişən $X$ vəziyyətində):

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

və biz bunu bilirik:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

Əvəz etməklə:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Viktorina

  • Çoxölçülü xətti reqressiya zamanı optimal parametrlər vektorunun düsturu nədir:

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ “düzgün”

  • Törəməni niyə 0-a qoyuruq?

  • Ekstremumu tapmaq üçün. “doğru”

  • Törəməni minimuma endirmək.

  • Törəmənin yalnız real hissəsini saxlamaq.

  • Xətti reqressiyanın məqsədi nədir?

  • Bütün nöqtələrdən keçən xətti tapmaq.

  • Məlumatı ən yaxşı təsvir edən xətti tapmaq üçün.”düzgün”

  • Məlumatları ən yaxşı ayıran xətti tapmaq üçün.

Dərs yoxdur? Problem yoxdur – Code Labs Academy ilə Məlumat Alimi ol.