Regressió lineal

Actualitzat a August 31, 2024 4 minuts de lectura

Regressió lineal cover image

Introducció

Donat un conjunt de dades $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$ com ara $X_{i}$ i $Y_{i }$ són continus, l’objectiu de “Regressió lineal” és trobar la millor línia que s’ajusti a aquestes dades.

En altres paraules, volem crear el model:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

on $p$ és el nombre de dimensions de la variable $X$.

En aquest article veurem com resoldre aquest problema en tres escenaris:

  • Quan X és unidimensional, és a dir, $p=1$.

  • Quan X és multidimensional, és a dir, $p>1$.

  • Ús de descens de gradients.

$X$ és unidimensional (Mínim quadrat ordinari)

El model que volem crear és de forma:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Recordeu que l’objectiu de la regressió lineal és trobar la recta que millor s’ajusti a les dades. En altres paraules, hem de minimitzar la distància entre els punts de dades i la línia.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

Posem:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

Per trobar el mínim, hem de resoldre les equacions següents:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

Comencem desenvolupant la primera equació:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

Substituïm a la segona equació:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

Tornem a substituir en $a_{0}$:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$ és multidimensional (Mínim quadrat ordinari)

En aquest cas, $X_{i}$ ja no és un nombre real, sinó que és un vector de mida $p$:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Per tant, el model s’escriu de la següent manera:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

o bé, es pot escriure en format matricial:

$$ \hat{Y} = X.W $$

on:

  • $Y$ té la forma $(N, 1)$.

  • $X$ té la forma $(N, p)$.

  • $W$ és de forma $(p, 1)$: aquest és el vector de paràmetres $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

De la mateixa manera que en el primer cas, pretenem minimitzar la quantitat següent:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

De nou posem:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

Com que volem minimitzar $L$ respecte a $W$, podem ignorar el primer terme “$Y^TY$” perquè és independent de $W$ i resolem l’equació següent:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

S’utilitza la baixada del gradient

Aquí teniu la formulació de l’algorisme de descens del gradient:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

Ara tot el que hem de fer és aplicar-lo als dos paràmetres $a_{0}$ i $a_{1}$ (en el cas d’una variable $X$):

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

i sabem que:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

Per substitució:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Test

  • Quina és la fórmula del vector de paràmetres òptims en el cas de regressió lineal multidimensional:

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ “correcte”

  • Per què posem la derivada a 0?

  • Trobar l’extrem. “correcte”

  • Minimitzar la derivada.

  • Per mantenir només la part real de la derivada.

  • Quin és l’objectiu de la regressió lineal?

  • Trobar la recta que passa per tots els punts.

  • Per trobar la línia que millor descriu les dades.”correcte”

  • Trobar la línia que millor separa les dades.