Ievads
Dota datu kopa $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$, piemēram, $X_{i}$ un $Y_{i }$ ir nepārtraukti, “Lineārās regresijas” mērķis ir atrast labāko līniju, kas atbilst šiem datiem.
Citiem vārdiem sakot, mēs vēlamies izveidot modeli:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$
kur $p$ ir mainīgā $X$ izmēru skaits.
Šajā rakstā mēs redzēsim, kā atrisināt šo problēmu trīs scenārijos:
-
Ja X ir viendimensionāls, t.i., $p=1$.
-
Ja X ir daudzdimensionāls, t.i., $p>1$.
-
Izmantojot gradienta nolaišanos.
$X$ ir viendimensijas (parastais mazākais kvadrāts)
Modelim, kuru vēlamies izveidot, ir šāda forma:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$
Atcerieties, ka lineārās regresijas mērķis ir atrast līniju, kas vislabāk atbilst datiem. Citiem vārdiem sakot, mums ir jāsamazina attālums starp datu punktiem un līniju.
$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$
$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$
Liekam:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$
Lai atrastu minimumu, mums jāatrisina šādi vienādojumi:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$
Mēs sākam, izstrādājot pirmo vienādojumu:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$
$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$
Mēs aizvietojam otrajā vienādojumā:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$
$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$
Mēs aizstājam atpakaļ $a_{0}$:
$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$
$X$ ir daudzdimensionāls (parastais mazākais kvadrāts)
Šajā gadījumā $X_{i}$ vairs nav reāls skaitlis, bet gan $p$ izmēra vektors:
$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$
Tātad modelis ir uzrakstīts šādi:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$
vai arī to var rakstīt matricas formātā:
$$ \hat{Y} = X.W $$
kur:
-
$Y$ ir $(N, 1)$ formā.
-
$X$ ir $(N, p)$ formā.
-
$W$ ir formas $(p, 1)$: šis ir parametru vektors $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.
Līdzīgi kā pirmajā gadījumā, mūsu mērķis ir samazināt šādu daudzumu:
$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
Atkal liksim:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$
$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$
$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$
Tā kā mēs vēlamies samazināt $L$ attiecībā pret $W$, mēs varam ignorēt pirmo terminu "$Y^TY$", jo tas nav atkarīgs no $W$, un atrisināsim šādu vienādojumu:
$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$
$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$
$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$
Izmantojot gradienta nolaišanos
Šeit ir gradienta nolaišanās algoritma formulējums:
$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$
Tagad viss, kas mums jādara, ir jāpiemēro diviem parametriem $a_{0}$ un $a_{1}$ (viena mainīgā $X$ gadījumā):
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$
un mēs zinām, ka:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$
Pēc aizstāšanas:
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$
Viktorīna
-
Kāda ir optimālo parametru vektora formula daudzdimensiju lineārās regresijas gadījumā:
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$
-
$(X^TX)^{-1}X^TY$ "pareizi"
-
Kāpēc atvasinājumu liekam uz 0?
-
Lai atrastu ekstrēmu. "pareizi"
-
Lai samazinātu atvasinājumu.
-
Paturēt tikai atvasinājuma reālo daļu.
-
Kāds ir lineārās regresijas mērķis?
-
Lai atrastu līniju, kas iet gar visiem punktiem.
- Lai atrastu rindiņu, kas vislabāk raksturo datus."pareizi"
- Lai atrastu līniju, kas vislabāk atdala datus.
