การถดถอยเชิงเส้น

การแนะนำ

เมื่อกำหนดชุดข้อมูล $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$ เช่น $X_{i}$ และ $Y_{i }$ มีความต่อเนื่อง เป้าหมายของ "Linear Regression" คือการค้นหาบรรทัดที่ดีที่สุดที่เหมาะกับข้อมูลนี้

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องการสร้างแบบจำลอง:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

โดยที่ $p$ คือจำนวนมิติของตัวแปร $X$

ในบทความนี้ เราจะดูวิธีแก้ปัญหานี้ในสามสถานการณ์:

• เมื่อ X เป็นมิติเดียว เช่น $p=1$

• เมื่อ X มีหลายมิติ เช่น $p>1$

• การใช้การไล่ระดับโคตร

$X$ เป็นหนึ่งมิติ (Ordinary Least Square)

โมเดลที่เราต้องการสร้างมีรูปร่าง:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

โปรดจำไว้ว่าเป้าหมายของการถดถอยเชิงเส้นคือการค้นหาเส้นที่เหมาะกับข้อมูลมากที่สุด กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจำเป็นต้องลดระยะห่างระหว่างจุดข้อมูลและเส้นให้เหลือน้อยที่สุด

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

เอาล่ะ:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

เพื่อที่จะหาค่าต่ำสุด เราจำเป็นต้องแก้สมการต่อไปนี้:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

เราเริ่มต้นด้วยการพัฒนาสมการแรก:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

เราแทนที่ในสมการที่สอง:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

เราแทนที่กลับด้วย $a_{0}$:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$ มีหลายมิติ (Ordinary Least Square)

ในกรณีนี้ $X_{i}$ ไม่ใช่จำนวนจริงอีกต่อไป แต่เป็น เวกเตอร์ ขนาด $p$ แทน:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

ดังนั้นโมเดลจึงเขียนได้ดังนี้

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

หรือเขียนในรูปแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้

$$ \hat{Y} = X.W $$

ที่ไหน:

• $Y$ มีรูปร่าง $(N, 1)$

• $X$ มีรูปร่าง $(N, p)$

• $W$ มีรูปร่าง $(p, 1)$: นี่คือพารามิเตอร์เวกเตอร์ $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$

ในทำนองเดียวกันกับกรณีแรก เรามุ่งหวังที่จะลดปริมาณต่อไปนี้ให้เหลือน้อยที่สุด:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

ใส่อีกครั้ง:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

เนื่องจากเราต้องการย่อ $L$ เทียบกับ $W$ เราจึงสามารถมองข้ามเทอมแรก "$Y^TY$" ได้เพราะมันไม่ขึ้นอยู่กับ $W$ แล้วลองแก้สมการต่อไปนี้:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

ใช้การไล่ระดับโคตร

นี่คือสูตรของอัลกอริธึมการไล่ระดับสี:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

ตอนนี้สิ่งที่เราต้องทำคือนำไปใช้กับพารามิเตอร์สองตัว $a_{0}$ และ $a_{1}$ (ในกรณีของตัวแปรตัวเดียว $X$):

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

และเรารู้ว่า:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

โดยการทดแทน:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

แบบทดสอบ

• สูตรของเวกเตอร์พารามิเตอร์ที่เหมาะสมที่สุดในกรณีของการถดถอยเชิงเส้นหลายมิติคืออะไร:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "ถูกต้อง"

• ทำไมเราถึงใส่อนุพันธ์เป็น 0?

• เพื่อค้นหาจุดสุดยอด "ถูกต้อง"

• เพื่อลดอนุพันธ์ให้เหลือน้อยที่สุด

• เพื่อเก็บเฉพาะส่วนที่แท้จริงของอนุพันธ์เท่านั้น

• วัตถุประสงค์ของการถดถอยเชิงเส้นคืออะไร?

• เพื่อค้นหาเส้นที่ผ่านทุกจุด

• เพื่อค้นหาบรรทัดที่อธิบายข้อมูลได้ดีที่สุด**"ถูกต้อง"**

• เพื่อค้นหาเส้นที่แยกข้อมูลได้ดีที่สุด