การถดถอยเชิงเส้น

คณิตศาสตร์ การถดถอยเชิงเส้น

อัปเดตบน August 30, 2024210 นาทีอ่าน

การถดถอยเชิงเส้น cover image

การแนะนำ

เมื่อกำหนดชุดข้อมูล D={(X1,Y2),…,(XN,YN)}D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\} เช่น XiX_{i} และ YiY_{i } มีความต่อเนื่อง เป้าหมายของ "Linear Regression" คือการค้นหาบรรทัดที่ดีที่สุดที่เหมาะกับข้อมูลนี้

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องการสร้างแบบจำลอง:

y^=a∗0+a∗1.x∗1+⋯+a∗p.x_p\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}

โดยที่ pp คือจำนวนมิติของตัวแปร XX

ในบทความนี้ เราจะดูวิธีแก้ปัญหานี้ในสามสถานการณ์:

  • เมื่อ X เป็นมิติเดียว เช่น p=1p=1

  • เมื่อ X มีหลายมิติ เช่น p>1p>1

  • การใช้การไล่ระดับโคตร

XX เป็นหนึ่งมิติ (Ordinary Least Square)

โมเดลที่เราต้องการสร้างมีรูปร่าง:

y^=a∗0+a∗1.x\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x

โปรดจำไว้ว่าเป้าหมายของการถดถอยเชิงเส้นคือการค้นหาเส้นที่เหมาะกับข้อมูลมากที่สุด กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจำเป็นต้องลดระยะห่างระหว่างจุดข้อมูลและเส้นให้เหลือน้อยที่สุด

(a∗0^,a∗1^)=argmin⁡(a∗0,a∗1)∑∗i=1N(y∗i−y∗i^)2(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2

=argmin⁡(a∗0,a∗1)∑∗i=1N(y∗i−(a∗0+a∗1.x∗i))2= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2

เอาล่ะ:

L=∑∗i=1N(y∗i−(a∗0+a∗1.x_i))2L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2

เพื่อที่จะหาค่าต่ำสุด เราจำเป็นต้องแก้สมการต่อไปนี้:

{∂L∂a0=0∂L∂a1=0\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}
{∑i=1N−2(yi−(a0+a1.xi))=0∑i=1N−2xi(yi−(a0+a1.xi))=0\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}

เราเริ่มต้นด้วยการพัฒนาสมการแรก:

∑i=1Nyi−∑i=1Na0+∑i=1Na1.xi=0\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\
∑i=1Nyi−Na0+∑i=1Na1.xi=0\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\
a0=∑i=1NyiN−∑i=1NxiNa1a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}
a0=Y−Xa1a_{0} = Y - Xa_{1}

เราแทนที่ในสมการที่สอง:

∑i=1Nxi(yi−Y+Xa1−a1xi)=0\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0
∑i=1N(yi−Y)+a1(X−xi)=0\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0
∑i=1N(yi−Y)−∑i=1Na1(xi−X)=0\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0
a1=∑i=1N(yi−Y)∑i=1N(xi−X)=∑i=1N(yi−Y)(xi−X)∑i=1N(xi−X)2=COV(X,Y)VAR(X)a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}

เราแทนที่กลับด้วย a0a_{0}:

{a0=Y−XCOV(X,Y)VAR(X)a1=COV(X,Y)VAR(X)\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}

XX มีหลายมิติ (Ordinary Least Square)

ในกรณีนี้ XiX_{i} ไม่ใช่จำนวนจริงอีกต่อไป แต่เป็น เวกเตอร์ ขนาด pp แทน:

X∗i=(X∗i1,X∗i2,…,X∗ip)X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})

ดังนั้นโมเดลจึงเขียนได้ดังนี้

y^=a∗0+a∗1x∗1+a∗2x∗2+⋯+a∗px_p\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}

หรือเขียนในรูปแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้

Y^=X.W\hat{Y} = X.W

ที่ไหน:

  • YY มีรูปร่าง (N,1)(N, 1)

  • XX มีรูปร่าง (N,p)(N, p)

  • WW มีรูปร่าง (p,1)(p, 1): นี่คือพารามิเตอร์เวกเตอร์ (w1,w2,…,wp)(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})

ในทำนองเดียวกันกับกรณีแรก เรามุ่งหวังที่จะลดปริมาณต่อไปนี้ให้เหลือน้อยที่สุด:

W^=argmin⁡W∑∗i=1N(y∗i−y_i^)2\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2

ใส่อีกครั้ง:

L=∑∗i=1N(y∗i−y_i^)2L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2

=(Y−XW)T(Y−XW)= (Y-XW)^{T}(Y-XW)
=YTY−YTXW−WTXTY+WTXTXW= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW
=YTY−2WTXTY+WTXTXW= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW

เนื่องจากเราต้องการย่อ LL เทียบกับ WW เราจึงสามารถมองข้ามเทอมแรก "YTYY^TY" ได้เพราะมันไม่ขึ้นอยู่กับ WW แล้วลองแก้สมการต่อไปนี้:

∂(−2WTXTY+WTXTXW)∂W=0\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0
−2XTY+2XTXW^=0-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0
W^=(XTX)−1XTY\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY

ใช้การไล่ระดับโคตร

นี่คือสูตรของอัลกอริธึมการไล่ระดับสี:

w∗n+1=w∗n−lr×∂f∂w_nw*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}

ตอนนี้สิ่งที่เราต้องทำคือนำไปใช้กับพารามิเตอร์สองตัว a0a_{0} และ a1a_{1} (ในกรณีของตัวแปรตัวเดียว XX):

{a0(n+1)=a0(n)−lr×∂L∂a0a1(n+1)=a1(n)−lr×∂L∂a1\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}

และเรารู้ว่า:

{∂L∂a0=∑i=1N−2(yi−(a0+a1.xi))∂L∂a1=∑i=1N−2xi(yi−(a0+a1.xi))\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}

โดยการทดแทน:

{a0(n+1)=a0(n)+2×lr×∑i=1N(yi−(a0(n)+a1(n).xi))a1(n+1)=a1(n)+2×lr×∑i=1Nxi(yi−(a0(n)+a1(n).xi))\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}

แบบทดสอบ

  • สูตรของเวกเตอร์พารามิเตอร์ที่เหมาะสมที่สุดในกรณีของการถดถอยเชิงเส้นหลายมิติคืออะไร:

  • COV(X,Y)VAR(Y)\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}

  • COV(X,Y)VAR(X)\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}

  • (XTX)−1XTY(X^TX)^{-1}X^TY "ถูกต้อง"

  • ทำไมเราถึงใส่อนุพันธ์เป็น 0?

  • เพื่อค้นหาจุดสุดยอด "ถูกต้อง"

  • เพื่อลดอนุพันธ์ให้เหลือน้อยที่สุด

  • เพื่อเก็บเฉพาะส่วนที่แท้จริงของอนุพันธ์เท่านั้น

  • วัตถุประสงค์ของการถดถอยเชิงเส้นคืออะไร?

  • เพื่อค้นหาเส้นที่ผ่านทุกจุด

  • เพื่อค้นหาบรรทัดที่อธิบายข้อมูลได้ดีที่สุด**"ถูกต้อง"**

  • เพื่อค้นหาเส้นที่แยกข้อมูลได้ดีที่สุด

พิจารณาอาชีพด้านเทคโนโลยี - เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับ bootcamps ออนไลน์ของ CLA

Career Services background pattern

บริการด้านอาชีพ

Contact Section background image

มาติดต่อกันกันเถอะ

ภาพรวม

เกี่ยวกับ

หลักสูตร

กฎหมาย

ติดต่อเรา

ติดตามเรา:

Code Labs Academy © 2025 สงวนลิขสิทธิ์.