Doğrusal Regresyon

September 06, 2024 'de güncellendi 3 dakika oku

Doğrusal Regresyon cover image

Giriiş

$D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$ veri kümesi verildiğinde, örneğin $X_{i}$ ve $Y_{i }$ süreklidir, “Doğrusal Regresyon”un amacı bu verilere uyan en iyi doğruyu bulmaktır.

Başka bir deyişle modeli oluşturmak istiyoruz:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

burada $p$, $X$ değişkeninin boyut sayısıdır.

Bu yazıda bu sorunun üç senaryoda nasıl çözüleceğini göreceğiz:

  • X tek boyutlu olduğunda yani $p=1$.

  • X çok boyutlu olduğunda, yani $p>1$.

  • Gradyan inişini kullanma.

$X$ tek boyutludur (Sıradan En Küçük Kare)

Oluşturmak istediğimiz model şu şekildedir:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Doğrusal regresyonun amacının verilere en iyi uyan doğruyu bulmak olduğunu unutmayın. Yani veri noktaları ile çizgi arasındaki mesafeyi en aza indirmemiz gerekiyor.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

Hadi koyalım:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

Minimumu bulmak için aşağıdaki denklemleri çözmemiz gerekir:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

İlk denklemi geliştirerek başlıyoruz:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

İkinci denklemde yerine koyarsak:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

$a_{0}$ yerine geri koyarız:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$ çok boyutludur (Sıradan En Küçük Kare)

Bu durumda, $X_{i}$ artık gerçek bir sayı değil, bunun yerine $p$ boyutunda bir vektör olur:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Yani model şu şekilde yazılmıştır:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

veya matris formatında yazılabilir:

$$ \hat{Y} = X.W $$

Neresi:

  • $Y$ $(N, 1)$ şeklindedir.

  • $X$ $(N, p)$ şeklindedir.

  • $W$ $(p, 1)$ şeklindedir: bu $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$ parametre vektörüdür.

İlk duruma benzer şekilde aşağıdaki miktarı en aza indirmeyi hedefliyoruz:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

Tekrar belirtelim:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$L$‘yi $W$‘a göre minimuma indirmek istediğimizden, o zaman ilk terim olan “$Y^TY$“‘yi yok sayabiliriz çünkü o $W$‘dan bağımsızdır ve aşağıdaki denklemi çözelim:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

Gradyan inişini kullanma

Gradyan iniş algoritmasının formülasyonu şöyledir:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

Şimdi tek yapmamız gereken, bunu iki $a_{0}$ ve $a_{1}$ parametresine (tek değişken $X$ olması durumunda) uygulamaktır:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

ve şunu biliyoruz:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

Değiştirme yoluyla:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Sınav

  • Çok boyutlu doğrusal regresyon durumunda optimal parametre vektörünün formülü nedir:

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ “doğru”

  • Türevi neden 0’a koyuyoruz?

  • Ekstremu bulmak için. “doğru”

  • Türevi en aza indirmek.

  • Türevin sadece reel kısmını tutmak.

  • Doğrusal regresyonun amacı nedir?

  • Tüm noktalardan geçen çizgiyi bulmak.

  • Veriyi en iyi tanımlayan satırı bulmak için.”doğru”

  • Verileri en iyi ayıran çizgiyi bulmak.