Вступ
Дано набір даних $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$, наприклад $X_{i}$ і $Y_{i }$ є безперервними. Мета «лінійної регресії» полягає в тому, щоб знайти найкращу лінію, яка відповідає цим даним.
Іншими словами, ми хочемо створити модель:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$
де $p$ — кількість вимірів змінної $X$.
У цій статті ми побачимо, як вирішити цю проблему за трьома сценаріями:
-
Коли X є одновимірним, тобто $p=1$.
-
Коли X є багатовимірним, тобто $p>1$.
-
Використання градієнтного спуску.
$X$ є одновимірним (звичайний найменший квадрат)
Модель, яку ми хочемо створити, має форму:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$
Пам’ятайте, що метою лінійної регресії є пошук лінії, яка найкраще відповідає даним. Іншими словами, нам потрібно мінімізувати відстань між точками даних і лінією.
$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$
$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$
Покладемо:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$
Щоб знайти мінімум, нам потрібно розв’язати наступні рівняння:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$
Ми починаємо з розробки першого рівняння:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$
$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$
Підставляємо в друге рівняння:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$
$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$
Підставляємо назад в $a_{0}$:
$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$
$X$ є багатовимірним (звичайний найменший квадрат)
У цьому випадку $X_{i}$ більше не є дійсним числом, а натомість це вектор розміру $p$:
$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$
Отже, модель записується так:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$
або його можна записати в матричному форматі:
$$ \hat{Y} = X.W $$
де:
-
$Y$ має форму $(N, 1)$.
-
$X$ має форму $(N, p)$.
-
$W$ має форму $(p, 1)$: це вектор параметрів $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.
Подібно до першого випадку, ми прагнемо мінімізувати таку кількість:
$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
Знову поставимо:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$
$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$
$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$
Оскільки ми хочемо мінімізувати $L$ відносно $W$, ми можемо ігнорувати перший член "$Y^TY$", оскільки він не залежить від $W$, і давайте розв’яжемо таке рівняння:
$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$
$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$
$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$
Використання градієнтного спуску
Ось формулювання алгоритму градієнтного спуску:
$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$
Тепер все, що нам потрібно зробити, це застосувати його до двох параметрів $a_{0}$ і $a_{1}$ (у випадку однієї змінної $X$):
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$
і ми знаємо, що:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$
За заміною:
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$
Вікторина
-
Яка формула вектора оптимальних параметрів у випадку багатовимірної лінійної регресії:
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$
-
$(X^TX)^{-1}X^TY$ "правильно"
-
Чому ми ставимо похідну до 0?
-
Знайти екстремум. "правильно"
-
Мінімізувати похідну.
-
Зберігати лише дійсну частину похідної.
-
Яка мета лінійної регресії?
-
Знайти пряму, яка проходить повз усі точки.
-
Щоб знайти рядок, який найкраще описує дані."правильно"
-
Щоб знайти лінію, яка найкраще розділяє дані.
