Lineaarinen regressio

Päivitetty June 12, 2024 3 minuutteja luetaan

Lineaarinen regressio cover image

Johdanto

Annettu tietojoukko $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$, kuten $X_{i}$ ja $Y_{i }$ ovat jatkuvia, “Lineaarisen regression” tavoitteena on löytää paras viiva, joka sopii tähän dataan.

Toisin sanoen haluamme luoda mallin:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

jossa $p$ on muuttujan $X$ dimensioiden lukumäärä.

Tässä artikkelissa näemme, kuinka tämä ongelma ratkaistaan ​​kolmessa skenaariossa:

  • Kun X on yksiulotteinen eli $p=1$.

  • Kun X on moniulotteinen eli $p>1$.

  • Käytä kaltevuuslaskua.

$X$ on yksiulotteinen (tavallinen pienin neliö)

Malli, jonka haluamme luoda, on muotoinen:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Muista, että lineaarisen regression tavoitteena on löytää dataan parhaiten sopiva viiva. Toisin sanoen meidän on minimoitava datapisteiden ja viivan välinen etäisyys.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

Laitetaan:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

Minimimäärän löytämiseksi meidän on ratkaistava seuraavat yhtälöt:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

Aloitamme kehittämällä ensimmäisen yhtälön:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

Korvaamme toisessa yhtälössä:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

Korvaamme takaisin $a_{0}$:ssa:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$ on moniulotteinen (tavallinen pienin neliö)

Tässä tapauksessa $X_{i}$ ei ole enää reaaliluku, vaan se on vektori, jonka koko on $p$:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Joten malli on kirjoitettu seuraavasti:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

tai se voidaan kirjoittaa matriisimuodossa:

$$ \hat{Y} = X.W $$

missä:

  • $Y$ on muotoa $(N, 1)$.

  • $X$ on muotoa $(N, p)$.

  • $W$ on muotoa $(p, 1)$: tämä on parametrivektori $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Kuten ensimmäisessä tapauksessa, pyrimme minimoimaan seuraavan määrän:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

Laitetaanpa vielä:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

Koska haluamme minimoida $L$ suhteessa $W$, voimme jättää huomioimatta ensimmäisen termin “$Y^TY$”, koska se on riippumaton $W$:sta ja ratkaistaan ​​seuraava yhtälö:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

Käyttämällä gradienttilaskua

Tässä on gradientin laskeutumisalgoritmin muotoilu:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

Nyt meidän tarvitsee vain käyttää sitä kahdessa parametrissa $a_{0}$ ja $a_{1}$ (jos kyseessä on yksi muuttuja $X$):

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

ja tiedämme sen:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

Korvaamalla:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Tietovisa

  • Mikä on optimiparametrivektorin kaava moniulotteisen lineaarisen regression tapauksessa:

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ “oikea”

  • Miksi asetamme derivaatan arvoksi 0?

  • Löytää ääripää. “oikea”

  • Johdannaisen minimoimiseksi.

  • Säilytä vain johdannaisen reaaliosa.

  • Mikä on lineaarisen regression tavoite?

  • Löytää viiva, joka kulkee kaikkien pisteiden ohi.

  • Löytääksesi rivin, joka kuvaa parhaiten tietoja.”oikea”

  • Löytää rivi, joka parhaiten erottaa tiedot.