Lineaarinen regressio

Johdanto

Annettu tietojoukko $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$, kuten $X_{i}$ ja $Y_{i }$ ovat jatkuvia, "Lineaarisen regression" tavoitteena on löytää paras viiva, joka sopii tähän dataan.

Toisin sanoen haluamme luoda mallin:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

jossa $p$ on muuttujan $X$ dimensioiden lukumäärä.

Tässä artikkelissa näemme, kuinka tämä ongelma ratkaistaan ​​kolmessa skenaariossa:

• Kun X on yksiulotteinen eli $p=1$.

• Kun X on moniulotteinen eli $p>1$.

• Käytä kaltevuuslaskua.

$X$ on yksiulotteinen (tavallinen pienin neliö)

Malli, jonka haluamme luoda, on muotoinen:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Muista, että lineaarisen regression tavoitteena on löytää dataan parhaiten sopiva viiva. Toisin sanoen meidän on minimoitava datapisteiden ja viivan välinen etäisyys.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Laitetaan:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Minimimäärän löytämiseksi meidän on ratkaistava seuraavat yhtälöt:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Aloitamme kehittämällä ensimmäisen yhtälön:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Korvaamme toisessa yhtälössä:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Korvaamme takaisin $a_{0}$:ssa:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ on moniulotteinen (tavallinen pienin neliö)

Tässä tapauksessa $X_{i}$ ei ole enää reaaliluku, vaan se on vektori, jonka koko on $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Joten malli on kirjoitettu seuraavasti:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

tai se voidaan kirjoittaa matriisimuodossa:

$\hat{Y} = X.W$

missä:

• $Y$ on muotoa $(N, 1)$.

• $X$ on muotoa $(N, p)$.

• $W$ on muotoa $(p, 1)$: tämä on parametrivektori $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Kuten ensimmäisessä tapauksessa, pyrimme minimoimaan seuraavan määrän:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Laitetaanpa vielä:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Koska haluamme minimoida $L$ suhteessa $W$, voimme jättää huomioimatta ensimmäisen termin "$Y^TY$", koska se on riippumaton $W$:sta ja ratkaistaan ​​seuraava yhtälö:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Käyttämällä gradienttilaskua

Tässä on gradientin laskeutumisalgoritmin muotoilu:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Nyt meidän tarvitsee vain käyttää sitä kahdessa parametrissa $a_{0}$ ja $a_{1}$ (jos kyseessä on yksi muuttuja $X$):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

ja tiedämme sen:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

Korvaamalla:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Tietovisa

• Mikä on optimiparametrivektorin kaava moniulotteisen lineaarisen regression tapauksessa:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "oikea"

• Miksi asetamme derivaatan arvoksi 0?

• Löytää ääripää. "oikea"

• Johdannaisen minimoimiseksi.

• Säilytä vain johdannaisen reaaliosa.

• Mikä on lineaarisen regression tavoite?

• Löytää viiva, joka kulkee kaikkien pisteiden ohi.

• Löytääksesi rivin, joka kuvaa parhaiten tietoja."oikea"

• Löytää rivi, joka parhaiten erottaa tiedot.