Lineaarinen regressio

matematiikka
lineaarinen regressio

Päivitetty June 12, 2024211 minuutteja luetaan

Lineaarinen regressio cover image

Johdanto

Annettu tietojoukko D={(X1,Y2),…,(XN,YN)}D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}, kuten XiX_{i} ja YiY_{i } ovat jatkuvia, "Lineaarisen regression" tavoitteena on löytää paras viiva, joka sopii tähän dataan.

Toisin sanoen haluamme luoda mallin:

y^=a∗0+a∗1.x∗1+⋯+a∗p.x_p\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}

jossa pp on muuttujan XX dimensioiden lukumäärä.

Tässä artikkelissa näemme, kuinka tämä ongelma ratkaistaan ​​kolmessa skenaariossa:

  • Kun X on yksiulotteinen eli p=1p=1.

  • Kun X on moniulotteinen eli p>1p>1.

  • Käytä kaltevuuslaskua.

XX on yksiulotteinen (tavallinen pienin neliö)

Malli, jonka haluamme luoda, on muotoinen:

y^=a∗0+a∗1.x\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x

Muista, että lineaarisen regression tavoitteena on löytää dataan parhaiten sopiva viiva. Toisin sanoen meidän on minimoitava datapisteiden ja viivan välinen etäisyys.

(a∗0^,a∗1^)=argmin⁡(a∗0,a∗1)∑∗i=1N(y∗i−y∗i^)2(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2

=argmin⁡(a∗0,a∗1)∑∗i=1N(y∗i−(a∗0+a∗1.x∗i))2= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2

Laitetaan:

L=∑∗i=1N(y∗i−(a∗0+a∗1.x_i))2L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2

Minimimäärän löytämiseksi meidän on ratkaistava seuraavat yhtälöt:

{∂L∂a0=0∂L∂a1=0\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}
{∑i=1N−2(yi−(a0+a1.xi))=0∑i=1N−2xi(yi−(a0+a1.xi))=0\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}

Aloitamme kehittämällä ensimmäisen yhtälön:

∑i=1Nyi−∑i=1Na0+∑i=1Na1.xi=0\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\
∑i=1Nyi−Na0+∑i=1Na1.xi=0\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\
a0=∑i=1NyiN−∑i=1NxiNa1a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}
a0=Y−Xa1a_{0} = Y - Xa_{1}

Korvaamme toisessa yhtälössä:

∑i=1Nxi(yi−Y+Xa1−a1xi)=0\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0
∑i=1N(yi−Y)+a1(X−xi)=0\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0
∑i=1N(yi−Y)−∑i=1Na1(xi−X)=0\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0
a1=∑i=1N(yi−Y)∑i=1N(xi−X)=∑i=1N(yi−Y)(xi−X)∑i=1N(xi−X)2=COV(X,Y)VAR(X)a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}

Korvaamme takaisin a0a_{0}:ssa:

{a0=Y−XCOV(X,Y)VAR(X)a1=COV(X,Y)VAR(X)\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}

XX on moniulotteinen (tavallinen pienin neliö)

Tässä tapauksessa XiX_{i} ei ole enää reaaliluku, vaan se on vektori, jonka koko on pp:

X∗i=(X∗i1,X∗i2,…,X∗ip)X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})

Joten malli on kirjoitettu seuraavasti:

y^=a∗0+a∗1x∗1+a∗2x∗2+⋯+a∗px_p\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}

tai se voidaan kirjoittaa matriisimuodossa:

Y^=X.W\hat{Y} = X.W

missä:

  • YY on muotoa (N,1)(N, 1).

  • XX on muotoa (N,p)(N, p).

  • WW on muotoa (p,1)(p, 1): tämä on parametrivektori (w1,w2,…,wp)(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p}).

Kuten ensimmäisessä tapauksessa, pyrimme minimoimaan seuraavan määrän:

W^=argmin⁡W∑∗i=1N(y∗i−y_i^)2\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2

Laitetaanpa vielä:

L=∑∗i=1N(y∗i−y_i^)2L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2

=(Y−XW)T(Y−XW)= (Y-XW)^{T}(Y-XW)
=YTY−YTXW−WTXTY+WTXTXW= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW
=YTY−2WTXTY+WTXTXW= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW

Koska haluamme minimoida LL suhteessa WW, voimme jättää huomioimatta ensimmäisen termin "YTYY^TY", koska se on riippumaton WW:sta ja ratkaistaan ​​seuraava yhtälö:

∂(−2WTXTY+WTXTXW)∂W=0\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0
−2XTY+2XTXW^=0-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0
W^=(XTX)−1XTY\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY

Käyttämällä gradienttilaskua

Tässä on gradientin laskeutumisalgoritmin muotoilu:

w∗n+1=w∗n−lr×∂f∂w_nw*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}

Nyt meidän tarvitsee vain käyttää sitä kahdessa parametrissa a0a_{0} ja a1a_{1} (jos kyseessä on yksi muuttuja XX):

{a0(n+1)=a0(n)−lr×∂L∂a0a1(n+1)=a1(n)−lr×∂L∂a1\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}

ja tiedämme sen:

{∂L∂a0=∑i=1N−2(yi−(a0+a1.xi))∂L∂a1=∑i=1N−2xi(yi−(a0+a1.xi))\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}

Korvaamalla:

{a0(n+1)=a0(n)+2×lr×∑i=1N(yi−(a0(n)+a1(n).xi))a1(n+1)=a1(n)+2×lr×∑i=1Nxi(yi−(a0(n)+a1(n).xi))\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}

Tietovisa

  • Mikä on optimiparametrivektorin kaava moniulotteisen lineaarisen regression tapauksessa:

  • COV(X,Y)VAR(Y)\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}

  • COV(X,Y)VAR(X)\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}

  • (XTX)−1XTY(X^TX)^{-1}X^TY "oikea"

  • Miksi asetamme derivaatan arvoksi 0?

  • Löytää ääripää. "oikea"

  • Johdannaisen minimoimiseksi.

  • Säilytä vain johdannaisen reaaliosa.

  • Mikä on lineaarisen regression tavoite?

  • Löytää viiva, joka kulkee kaikkien pisteiden ohi.

  • Löytääksesi rivin, joka kuvaa parhaiten tietoja."oikea"

  • Löytää rivi, joka parhaiten erottaa tiedot.

Harkitse teknistä uraa - Lisätietoja CLA: n online -bootcampeista

Career Services background pattern

Urapalvelut

Contact Section background image

Pidetään yhteyttä

Yleiskatsaus

Noin

Kurssit

Lakiasiat

OTA MEIHIN YHTEYTTÄ

SEURAA MEITÄ:

Code Labs Academy © 2025 Kaikki oikeudet pidätetään.