Johdanto
Annettu tietojoukko $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$, kuten $X_{i}$ ja $Y_{i }$ ovat jatkuvia, "Lineaarisen regression" tavoitteena on löytää paras viiva, joka sopii tähän dataan.
Toisin sanoen haluamme luoda mallin:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$
jossa $p$ on muuttujan $X$ dimensioiden lukumäärä.
Tässä artikkelissa näemme, kuinka tämä ongelma ratkaistaan kolmessa skenaariossa:
-
Kun X on yksiulotteinen eli $p=1$.
-
Kun X on moniulotteinen eli $p>1$.
-
Käytä kaltevuuslaskua.
$X$ on yksiulotteinen (tavallinen pienin neliö)
Malli, jonka haluamme luoda, on muotoinen:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$
Muista, että lineaarisen regression tavoitteena on löytää dataan parhaiten sopiva viiva. Toisin sanoen meidän on minimoitava datapisteiden ja viivan välinen etäisyys.
$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$
$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$
Laitetaan:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$
Minimimäärän löytämiseksi meidän on ratkaistava seuraavat yhtälöt:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$
Aloitamme kehittämällä ensimmäisen yhtälön:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$
$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$
Korvaamme toisessa yhtälössä:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$
$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$
Korvaamme takaisin $a_{0}$:ssa:
$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$
$X$ on moniulotteinen (tavallinen pienin neliö)
Tässä tapauksessa $X_{i}$ ei ole enää reaaliluku, vaan se on vektori, jonka koko on $p$:
$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$
Joten malli on kirjoitettu seuraavasti:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$
tai se voidaan kirjoittaa matriisimuodossa:
$$ \hat{Y} = X.W $$
missä:
-
$Y$ on muotoa $(N, 1)$.
-
$X$ on muotoa $(N, p)$.
-
$W$ on muotoa $(p, 1)$: tämä on parametrivektori $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.
Kuten ensimmäisessä tapauksessa, pyrimme minimoimaan seuraavan määrän:
$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
Laitetaanpa vielä:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$
$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$
$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$
Koska haluamme minimoida $L$ suhteessa $W$, voimme jättää huomioimatta ensimmäisen termin "$Y^TY$", koska se on riippumaton $W$:sta ja ratkaistaan seuraava yhtälö:
$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$
$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$
$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$
Käyttämällä gradienttilaskua
Tässä on gradientin laskeutumisalgoritmin muotoilu:
$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$
Nyt meidän tarvitsee vain käyttää sitä kahdessa parametrissa $a_{0}$ ja $a_{1}$ (jos kyseessä on yksi muuttuja $X$):
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$
ja tiedämme sen:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$
Korvaamalla:
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$
Tietovisa
-
Mikä on optimiparametrivektorin kaava moniulotteisen lineaarisen regression tapauksessa:
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$
-
$(X^TX)^{-1}X^TY$ "oikea"
-
Miksi asetamme derivaatan arvoksi 0?
-
Löytää ääripää. "oikea"
-
Johdannaisen minimoimiseksi.
-
Säilytä vain johdannaisen reaaliosa.
-
Mikä on lineaarisen regression tavoite?
-
Löytää viiva, joka kulkee kaikkien pisteiden ohi.
-
Löytääksesi rivin, joka kuvaa parhaiten tietoja."oikea"
-
Löytää rivi, joka parhaiten erottaa tiedot.
