Գծային ռեգրեսիա

Ներածություն

Հաշվի առնելով $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots, (X_{N}, Y_{N})}$, ինչպիսիք են $X_{i}$ և $Y_{i }$-ը շարունակական են, «Գծային ռեգրեսիայի» նպատակն է գտնել լավագույն տողը, որը համապատասխանում է այս տվյալներին:

Այլ կերպ ասած, մենք ցանկանում ենք ստեղծել մոդելը.

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

որտեղ $p$-ը $X$ փոփոխականի չափերի թիվն է:

Այս հոդվածում մենք կտեսնենք, թե ինչպես լուծել այս խնդիրը երեք սցենարով.

Երբ X-ը միաչափ է, այսինքն՝ $p=1$:
Երբ X-ը բազմաչափ է, այսինքն՝ $p>1$:
Օգտագործելով գրադիենտ ծագում:

$X$-ը միաչափ է (սովորական նվազագույն քառակուսի)

Մոդելը, որը մենք ցանկանում ենք ստեղծել, ձևի է.

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Հիշեք, որ գծային ռեգրեսիայի նպատակն է գտնել այն գիծը, որը լավագույնս համապատասխանում է տվյալներին: Այլ կերպ ասած, մենք պետք է նվազագույնի հասցնենք տվյալների կետերի և գծի միջև հեռավորությունը:

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

Դնենք.

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

Նվազագույնը գտնելու համար մենք պետք է լուծենք հետևյալ հավասարումները.

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

Մենք սկսում ենք մշակելով առաջին հավասարումը.

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

Երկրորդ հավասարման մեջ փոխարինում ենք.

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

Մենք փոխարինում ենք $a_{0}$-ով.

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$-ը բազմաչափ է (սովորական նվազագույն քառակուսի)

Այս դեպքում $X_{i}$-ն այլևս իրական թիվ չէ, այլ դրա փոխարեն այն $p$ չափի վեկտոր է:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Այսպիսով, մոդելը գրված է հետևյալ կերպ.

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

կամ, այն կարելի է գրել մատրիցային ձևաչափով.

$$ \hat{Y} = X.W $$

որտեղ:

$Y$-ը $(N, 1)$ է:
$X$-ը $(N, p)$ է:
$W$-ը $(p, 1)$ է. սա պարամետրերի վեկտորն է $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$:

Ինչպես առաջին դեպքում, մենք նպատակ ունենք նվազագույնի հասցնել հետևյալ քանակը.

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

Կրկին դնենք.

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

Քանի որ մենք ցանկանում ենք նվազագույնի հասցնել $L$-ը $W$-ի նկատմամբ, ապա մենք կարող ենք անտեսել "$Y^TY$" առաջին տերմինը, քանի որ այն անկախ է $W$-ից և եկեք լուծենք հետևյալ հավասարումը.

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

Օգտագործելով գրադիենտ ծագում

Ահա գրադիենտ ծագման ալգորիթմի ձևակերպումը.

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

Այժմ մեզ մնում է միայն կիրառել այն $a_{0}$ և $a_{1}$ երկու պարամետրերի վրա ($X$ մեկ փոփոխականի դեպքում).

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

և մենք գիտենք, որ.

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

Փոխարինման միջոցով.

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Վիկտորինա

Ո՞րն է օպտիմալ պարամետրերի վեկտորի բանաձևը բազմաչափ գծային ռեգրեսիայի դեպքում.
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$
$(X^TX)^{-1}X^TY$ «ճիշտ»
Ինչո՞ւ ենք ածանցյալը դնում 0-ի:
Ծայրահեղությունը գտնելու համար: «ճիշտ»
Ածանցյալը նվազագույնի հասցնելու համար:
Պահել միայն ածանցյալի իրական մասը։
Ո՞րն է գծային ռեգրեսիայի նպատակը:
Գտնել այն գիծը, որն անցնում է բոլոր կետերով:
Գտնել այն տողը, որը լավագույնս նկարագրում է տվյալները։«ճիշտ»
Գտնել այն տողը, որը լավագույնս առանձնացնում է տվյալները: