Գծային ռեգրեսիա

մաթեմատիկա
գծային ռեգրեսիա
Գծային ռեգրեսիա cover image

Ներածություն

Հաշվի առնելով D={(X1,Y2),…,(XN,YN)}D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots, (X_{N}, Y_{N})\}, ինչպիսիք են XiX_{i} և YiY_{i }-ը շարունակական են, «Գծային ռեգրեսիայի» նպատակն է գտնել լավագույն տողը, որը համապատասխանում է այս տվյալներին:

Այլ կերպ ասած, մենք ցանկանում ենք ստեղծել մոդելը.

y^=a∗0+a∗1.x∗1+⋯+a∗p.x_p\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}

որտեղ pp-ը XX փոփոխականի չափերի թիվն է:

Այս հոդվածում մենք կտեսնենք, թե ինչպես լուծել այս խնդիրը երեք սցենարով.

  • Երբ X-ը միաչափ է, այսինքն՝ p=1p=1:

  • Երբ X-ը բազմաչափ է, այսինքն՝ p>1p>1:

  • Օգտագործելով գրադիենտ ծագում:

XX-ը միաչափ է (սովորական նվազագույն քառակուսի)

Մոդելը, որը մենք ցանկանում ենք ստեղծել, ձևի է.

y^=a∗0+a∗1.x\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x

Հիշեք, որ գծային ռեգրեսիայի նպատակն է գտնել այն գիծը, որը լավագույնս համապատասխանում է տվյալներին: Այլ կերպ ասած, մենք պետք է նվազագույնի հասցնենք տվյալների կետերի և գծի միջև հեռավորությունը:

(a∗0^,a∗1^)=argmin⁡(a∗0,a∗1)∑∗i=1N(y∗i−y∗i^)2(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2

=argmin⁡(a∗0,a∗1)∑∗i=1N(y∗i−(a∗0+a∗1.x∗i))2= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2

Դնենք.

L=∑∗i=1N(y∗i−(a∗0+a∗1.x_i))2L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2

Նվազագույնը գտնելու համար մենք պետք է լուծենք հետևյալ հավասարումները.

{∂L∂a0=0∂L∂a1=0\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}
{∑i=1N−2(yi−(a0+a1.xi))=0∑i=1N−2xi(yi−(a0+a1.xi))=0\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}

Մենք սկսում ենք մշակելով առաջին հավասարումը.

∑i=1Nyi−∑i=1Na0+∑i=1Na1.xi=0\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\
∑i=1Nyi−Na0+∑i=1Na1.xi=0\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\
a0=∑i=1NyiN−∑i=1NxiNa1a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}
a0=Y−Xa1a_{0} = Y - Xa_{1}

Երկրորդ հավասարման մեջ փոխարինում ենք.

∑i=1Nxi(yi−Y+Xa1−a1xi)=0\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0
∑i=1N(yi−Y)+a1(X−xi)=0\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0
∑i=1N(yi−Y)−∑i=1Na1(xi−X)=0\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0
a1=∑i=1N(yi−Y)∑i=1N(xi−X)=∑i=1N(yi−Y)(xi−X)∑i=1N(xi−X)2=COV(X,Y)VAR(X)a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}

Մենք փոխարինում ենք a0a_{0}-ով.

{a0=Y−XCOV(X,Y)VAR(X)a1=COV(X,Y)VAR(X)\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}

XX-ը բազմաչափ է (սովորական նվազագույն քառակուսի)

Այս դեպքում XiX_{i}-ն այլևս իրական թիվ չէ, բայց փոխարենը pp չափի վեկտոր է:

X∗i=(X∗i1,X∗i2,…,X∗ip)X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})

Այսպիսով, մոդելը գրված է հետևյալ կերպ.

y^=a∗0+a∗1x∗1+a∗2x∗2+⋯+a∗px_p\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}

կամ, այն կարելի է գրել մատրիցային ձևաչափով.

Y^=X.W\hat{Y} = X.W

որտեղ:

  • YY-ը (N,1)(N, 1) է:

  • XX-ը (N,p)(N, p) է:

  • WW-ը (p,1)(p, 1) է. սա պարամետրերի վեկտորն է (w1,w2,…,wp)(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p}):

Ինչպես առաջին դեպքում, մենք նպատակ ունենք նվազագույնի հասցնել հետևյալ քանակը.

W^=argmin⁡W∑∗i=1N(y∗i−y_i^)2\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2

Կրկին դնենք.

L=∑∗i=1N(y∗i−y_i^)2L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2

=(Y−XW)T(Y−XW)= (Y-XW)^{T}(Y-XW)
=YTY−YTXW−WTXTY+WTXTXW= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW
=YTY−2WTXTY+WTXTXW= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW

Քանի որ մենք ցանկանում ենք նվազագույնի հասցնել LL-ը WW-ի նկատմամբ, ապա մենք կարող ենք անտեսել "YTYY^TY" առաջին տերմինը, քանի որ այն անկախ է WW-ից և եկեք լուծենք հետևյալ հավասարումը.

∂(−2WTXTY+WTXTXW)∂W=0\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0
−2XTY+2XTXW^=0-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0
W^=(XTX)−1XTY\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY

Օգտագործելով գրադիենտ ծագում

Ահա գրադիենտ ծագման ալգորիթմի ձևակերպումը.

w∗n+1=w∗n−lr×∂f∂w_nw*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}

Այժմ մեզ մնում է միայն կիրառել այն a0a_{0} և a1a_{1} երկու պարամետրերի վրա (XX մեկ փոփոխականի դեպքում).

{a0(n+1)=a0(n)−lr×∂L∂a0a1(n+1)=a1(n)−lr×∂L∂a1\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}

և մենք գիտենք, որ.

{∂L∂a0=∑i=1N−2(yi−(a0+a1.xi))∂L∂a1=∑i=1N−2xi(yi−(a0+a1.xi))\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}

Փոխարինման միջոցով.

{a0(n+1)=a0(n)+2×lr×∑i=1N(yi−(a0(n)+a1(n).xi))a1(n+1)=a1(n)+2×lr×∑i=1Nxi(yi−(a0(n)+a1(n).xi))\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}

Վիկտորինա

  • Ո՞րն է օպտիմալ պարամետրերի վեկտորի բանաձևը բազմաչափ գծային ռեգրեսիայի դեպքում.

  • COV(X,Y)VAR(Y)\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}

  • COV(X,Y)VAR(X)\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}

  • (XTX)−1XTY(X^TX)^{-1}X^TY «ճիշտ»

  • Ինչո՞ւ ենք ածանցյալը դնում 0-ի:

  • Ծայրահեղությունը գտնելու համար: «ճիշտ»

  • Ածանցյալը նվազագույնի հասցնելու համար:

  • Պահպանել միայն ածանցյալի իրական մասը։

  • Ո՞րն է գծային ռեգրեսիայի նպատակը:

  • Գտնել այն գիծը, որն անցնում է բոլոր կետերով:

  • Գտնել այն տողը, որը լավագույնս նկարագրում է տվյալները։«ճիշտ»

  • Գտնել այն տողը, որը լավագույնս առանձնացնում է տվյալները:

Դիպլոմ չկա՞ Խնդիր չկա – Դարձեք տվյալների գիտնական Code Labs Academy-ի հետ:

Career Services background pattern

Կարիերայի ծառայություններ

Contact Section background image

Եկեք մնանք կապի մեջ

Ընդհանուր ակնարկ

Մոտ

Դասընթացներ

Իրավական

ԿԱՊԵՔ ՄԵԶ

ԶԱՆԳԱՀԱՐԵԼ:

+44 20 4579 7873
+49 30 83793271

ՀԵՏԵՎԵՔ ՄԵԶ:

Code Labs Academy © 2024 Բոլոր իրավունքները պաշտպանված են.