Regresi Linier

Perkenalan

Diberikan kumpulan data $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$ seperti $X_{i}$ dan $Y_{i }$ bersifat kontinu, Tujuan dari "Regresi Linier" adalah menemukan garis terbaik yang sesuai dengan data ini.

Dengan kata lain, kami ingin membuat model:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

dimana $p$ adalah jumlah dimensi variabel $X$.

Pada artikel ini kita akan melihat cara mengatasi masalah ini dalam tiga skenario:

• Ketika X adalah satu dimensi yaitu $p=1$.

• Ketika X multidimensi yaitu $p>1$.

• Menggunakan penurunan gradien.

$X$ adalah satu dimensi (Kuadrat Terkecil Biasa)

Model yang ingin kita buat berbentuk:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Ingatlah bahwa tujuan regresi linier adalah menemukan garis yang paling sesuai dengan data. Dengan kata lain, kita perlu meminimalkan jarak antara titik data dan garis.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Katakanlah:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Untuk mencari nilai minimum, kita perlu menyelesaikan persamaan berikut:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Kita mulai dengan mengembangkan persamaan pertama:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Kami substitusikan ke persamaan kedua:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Kami mengganti kembali $a_{0}$:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ adalah multidimensi (Kuadrat Terkecil Biasa)

Dalam hal ini, $X_{i}$ bukan lagi bilangan real, melainkan vektor dengan ukuran $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Jadi, modelnya ditulis sebagai berikut:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

atau dapat ditulis dalam format matriks:

$\hat{Y} = X.W$

Di mana:

• $Y$ berbentuk $(N, 1)$.

• $X$ berbentuk $(N, p)$.

• $W$ berbentuk $(p, 1)$: ini adalah vektor parameter $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Mirip dengan kasus pertama, kami bertujuan untuk meminimalkan kuantitas berikut:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Sekali lagi mari kita katakan:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Karena kita ingin meminimalkan $L$ terhadap $W$, maka kita dapat mengabaikan suku pertama "$Y^TY$" karena tidak bergantung pada $W$ dan mari selesaikan persamaan berikut:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Menggunakan penurunan gradien

Berikut rumusan algoritma penurunan gradien:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Sekarang yang harus kita lakukan adalah menerapkannya pada dua parameter $a_{0}$ dan $a_{1}$ (dalam kasus satu variabel $X$):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

dan kita tahu bahwa:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

Dengan substitusi:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Kuis

• Apa rumus vektor parameter optimal dalam kasus regresi linier multidimensi:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "benar"

• Mengapa kita menempatkan turunannya menjadi 0?

• Untuk menemukan ekstremnya. "benar"

• Untuk meminimalkan turunan.

• Untuk hanya mempertahankan bagian riil dari turunannya.

• Apa tujuan regresi linier?

• Mencari garis yang melewati semua titik.

• Untuk menemukan baris yang paling menggambarkan data."benar"

• Untuk menemukan garis yang paling baik memisahkan data.