Linjär regression

Uppdaterad på June 22, 2024 4 minuter läst

Linjär regression cover image

Introduktion

Givet ett dataset $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$ som $X_{i}$ och $Y_{i }$ är kontinuerliga, Målet med “Linjär regression” är att hitta den bästa linjen som passar denna data.

Med andra ord vill vi skapa modellen:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

där $p$ är antalet dimensioner för variabeln $X$.

I den här artikeln kommer vi att se hur du löser detta problem i tre scenarier:

  • När X är endimensionell, dvs $p=1$.

  • När X är flerdimensionell, dvs $p>1$.

  • Använder gradientnedstigning.

$X$ är endimensionell (vanlig minsta kvadrat)

Modellen som vi vill skapa har formen:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Kom ihåg att målet med linjär regression är att hitta den linje som bäst passar data. Med andra ord måste vi minimera avståndet mellan datapunkterna och linjen.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

Låt oss sätta:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

För att hitta minimum måste vi lösa följande ekvationer:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

Vi börjar med att utveckla den första ekvationen:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

Vi ersätter i den andra ekvationen:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

Vi ersätter tillbaka i $a_{0}$:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$ är flerdimensionell (vanlig minsta kvadrat)

I det här fallet är $X_{i}$ inte längre ett reellt tal, utan det är istället en vektor av storleken $p$:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Så modellen är skriven som följer:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

eller så kan det skrivas i ett matrisformat:

$$ \hat{Y} = X.W $$

var:

  • $Y$ har formen $(N, 1)$.

  • $X$ har formen $(N, p)$.

  • $W$ har formen $(p, 1)$: detta är parametrarna vektor $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

På samma sätt som i det första fallet strävar vi efter att minimera följande kvantitet:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

Låt oss återigen säga:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

Eftersom vi vill minimera $L$ med avseende på $W$, då kan vi ignorera den första termen “$Y^TY$” eftersom den är oberoende av $W$ och låt oss lösa följande ekvation:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

Använder gradientnedstigning

Här är formuleringen av algoritmen för gradientnedstigning:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

Nu behöver vi bara tillämpa det på de två parametrarna $a_{0}$ och $a_{1}$ (i fallet med en variabel $X$):

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

och vi vet att:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

Genom byte:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Frågesport

  • Vad är formeln för den optimala parametrsvektorn i fallet med flerdimensionell linjär regression:

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ “korrekt”

  • Varför sätter vi derivatan till 0?

– Att hitta extremumet. “korrekt”

  • För att minimera derivatan.

– Att bara behålla den verkliga delen av derivatan.

  • Vad är syftet med linjär regression?

  • Att hitta linjen som passerar förbi alla punkter.

  • För att hitta den rad som bäst beskriver data.”korrekt”

  • Att hitta den linje som bäst skiljer data åt.