Лінейная рэгрэсія

Абноўлены на November 15, 2024 4 Прачытаныя хвіліны

Лінейная рэгрэсія cover image

Уводзіны

Дадзены набор даных $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$, напрыклад $X_{i}$ і $Y_{i }$ бесперапынныя. Мэта “Лінейнай рэгрэсіі” - знайсці найлепшую лінію, якая адпавядае гэтым дадзеным.

Іншымі словамі, мы хочам стварыць мадэль:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

дзе $p$ — колькасць вымярэнняў зменнай $X$.

У гэтым артыкуле мы ўбачым, як вырашыць гэтую праблему ў трох сцэнарах:

  • Калі X аднамерны, г.зн. $p=1$.

  • Калі X шматмерны, г.зн. $p>1$.

  • Выкарыстанне градыентнага спуску.

$X$ - аднамерны (звычайны найменшы квадрат)

Мадэль, якую мы хочам стварыць, мае форму:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Памятайце, што мэта лінейнай рэгрэсіі - знайсці лінію, якая найбольш адпавядае дадзеным. Іншымі словамі, нам трэба мінімізаваць адлегласць паміж кропкамі дадзеных і лініяй.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

Давайце паставім:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

Каб знайсці мінімум, трэба рашыць наступныя ўраўненні:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

Мы пачынаем з распрацоўкі першага ўраўнення:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

Падстаўляем у другое ўраўненне:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

Мы замяняем назад у $a_{0}$:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$ з’яўляецца шматмерным (звычайны найменшы квадрат)

У гэтым выпадку $X_{i}$ больш не з’яўляецца сапраўдным лікам, а замест гэтага гэта вектар памеру $p$:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Такім чынам, мадэль запісваецца наступным чынам:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

або, гэта можа быць запісана ў фармаце матрыцы:

$$ \hat{Y} = X.W $$

дзе:

  • $Y$ мае форму $(N, 1)$.

  • $X$ мае форму $(N, p)$.

  • $W$ мае форму $(p, 1)$: гэта вектар параметраў $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Як і ў першым выпадку, мы імкнемся мінімізаваць наступную колькасць:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

Зноў паставім:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

Паколькі мы хочам мінімізаваць $L$ адносна $W$, мы можам ігнараваць першы член “$Y^TY$”, таму што ён не залежыць ад $W$, і давайце рашым наступнае ўраўненне:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

Выкарыстанне градыентнага спуску

Вось фармулёўка алгарытму градыентнага спуску:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

Цяпер усё, што нам трэба зрабіць, гэта прымяніць яго да двух параметраў $a_{0}$ і $a_{1}$ (у выпадку адной зменнай $X$):

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

і мы ведаем, што:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

Па замене:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Віктарына

  • Якая формула вектара аптымальных параметраў у выпадку шматмернай лінейнай рэгрэсіі:

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ “правільна”

  • Чаму мы ставім вытворную роўнай 0?

— Знайсці экстрэмум. “правільна”

  • Мінімізаваць вытворную.

  • Каб захаваць толькі сапраўдную частку вытворнай.

  • Якая мэта лінейнай рэгрэсіі?

  • Знайсці прамую, якая праходзіць праз усе пункты.

  • Каб знайсці радок, які лепш за ўсё апісвае дадзеныя.”правільны”

  • Каб знайсці лінію, якая найлепшым чынам падзяляе дадзеныя.