Regresión lineal

Actualizado en September 24, 2024 4 Minutos lidos

Regresión lineal cover image

Introdución

Dado un conxunto de datos $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$ como $X_{i}$ e $Y_{i }$ son continuos. O obxectivo da “Regresión lineal” é atopar a mellor liña que se axuste a estes datos.

Noutras palabras, queremos crear o modelo:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

onde $p$ é o número de dimensións da variable $X$.

Neste artigo veremos como resolver este problema en tres escenarios:

  • Cando X é unidimensional, é dicir, $p=1$.

  • Cando X é multidimensional, é dicir, $p>1$.

  • Usando o descenso de gradientes.

$X$ é unidimensional (mínimo cadrado ordinario)

O modelo que queremos crear é de forma:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Lembra que o obxectivo da regresión lineal é atopar a recta que mellor se axuste aos datos. Noutras palabras, necesitamos minimizar a distancia entre os puntos de datos e a liña.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

Poñamos:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

Para atopar o mínimo, necesitamos resolver as seguintes ecuacións:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

Comezamos desenvolvendo a primeira ecuación:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

Substituímos na segunda ecuación:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

Substituímos de novo en $a_{0}$:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$ é multidimensional (mínimo cadrado ordinario)

Neste caso, $X_{i}$ xa non é un número real, senón que é un vector de tamaño $p$:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Entón, o modelo está escrito do seguinte xeito:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

ou, pódese escribir nun formato matricial:

$$ \hat{Y} = X.W $$

onde:

  • $Y$ ten a forma $(N, 1)$.

  • $X$ ten a forma $(N, p)$.

  • $W$ ten forma $(p, 1)$: este é o vector de parámetros $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Do mesmo xeito que no primeiro caso, pretendemos minimizar a seguinte cantidade:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

De novo poñamos:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

Como queremos minimizar $L$ con respecto a $W$, podemos ignorar o primeiro termo “$Y^TY$” porque é independente de $W$ e imos resolver a seguinte ecuación:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

Usando o descenso do gradiente

Aquí está a formulación do algoritmo de descenso de gradientes:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

Agora só temos que aplicalo nos dous parámetros $a_{0}$ e $a_{1}$ (no caso dunha única variable $X$):

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

e sabemos que:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

Por substitución:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Cuestionario

  • Cal é a fórmula do vector de parámetros óptimos no caso de regresión lineal multidimensional:

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ “correcto”

  • Por que poñemos a derivada a 0?

  • Para atopar o extremo. “correcto”

  • Minimizar a derivada.

  • Para manter só a parte real da derivada.

  • Cal é o obxectivo da regresión lineal?

  • Buscar a recta que pasa por todos os puntos.

  • Para atopar a liña que mellor describe os datos.”correcto”

  • Buscar a liña que mellor separa os datos.