Aischéimniú Líneach

Réamhrá

Tugtar tacar sonraí $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$ mar $X_{i}$ agus $Y_{i Tá }$ leanúnach, Is é an sprioc atá le "Aischéimniú Líneach" ná an líne is fearr a aimsiú a oireann do na sonraí seo.

I bhfocail eile, ba mhaith linn an tsamhail a chruthú:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

áit arb é $p$ líon toisí na hathróige $X$.

San Airteagal seo feicfimid conas an fhadhb seo a réiteach i dtrí chás:

Nuair is aontoiseach é X, i.e. $p=1$.
Nuair atá X iltoiseach, i.e. $p>1$.
Ag baint úsáide as shliocht grádán.

Is tríthoiseach amháin $X$ (Gnáthchearnóg ar a laghad)

Tá cruth ar an tsamhail is mian linn a chruthú:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Cuimhnigh gurb é an sprioc atá le cúlchéimniú líneach ná an líne is fearr a oireann do na sonraí a aimsiú. I bhfocail eile, ní mór dúinn an fad idir na pointí sonraí agus an líne a íoslaghdú.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

Cuirimis:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

Chun an t-íosmhéid a fháil, ní mór dúinn na cothromóidí seo a leanas a réiteach:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

Tosaímid tríd an gcéad chothromóid a fhorbairt:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

Déanaimid ionadú sa dara cothromóid:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

Déanaimid ionadach ar ais in $a_{0}$:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

Tá $X$ iltoiseach (Gnáthchearnóg ar a laghad)

Sa chás seo, ní fíoruimhir í $X_{i}$ a thuilleadh, ach ina ionad sin is veicteoir é $p$:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Mar sin, scríobhtar an tsamhail mar seo a leanas:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

nó, is féidir é a scríobh i bhformáid maitrís:

$$ \hat{Y} = X.W $$

áit:

Is é $Y$ cruth $(N, 1)$.
Is é $X$ cruth $(N,p)$.
Is é $W$ cruth $(p, 1)$: is é seo an veicteoir paraiméadair $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Mar an gcéanna leis an gcéad chás, tá sé mar aidhm againn an méid seo a leanas a íoslaghdú:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

Arís cuirimis:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

Ós rud é go dteastaíonn uainn $L$ a íoslaghdú maidir le $W$, is féidir linn neamhaird a dhéanamh den chéad téarma "$Y^TY$" toisc go bhfuil sé neamhspleách ar $W$ agus déanaimis an chothromóid seo a leanas a réiteach:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

Ag baint úsáide as shliocht grádáin

Seo foirmiú an algartam shliocht grádáin:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

Níl le déanamh againn anois ach é a chur i bhfeidhm ar an dá pharaiméadar $a_{0}$ agus $a_{1}$ (i gcás athróg amháin $X$):

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

agus tá a fhios againn:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

Trí ionadú:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Tráth na gCeist

Cad é foirmle an veicteora paraiméadair bharrfheabhsaithe i gcás aischéimnithí líneach iltoiseach:
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$
$(X^TX)^{-1}X^TY$ "ceart"
Cén fáth a gcuirimid an díorthach go 0?
Chun teacht ar an extremum. "ceart"
Chun an díorthach a íoslaghdú.
Gan ach an chuid fíor den díorthach a choinneáil.
Cad é cuspóir aischéimnithí líneach?
Chun an líne a théann thar na pointí go léir a fháil.
Chun an líne is fearr a chuireann síos ar na sonraí a fháil."ceart"
Chun an líne is fearr a scarann na sonraí a fháil.