Aischéimniú Líneach

mata
aischéimniú líneach

Nuashonraithe ar July 25, 2024212 Miontuairiscí Léigh

Aischéimniú Líneach cover image

Réamhrá

Tugtar tacar sonraí D={(X1,Y2),…,(XN,YN)}D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\} mar XiX_{i} agus YiTaˊY_{i Tá } leanúnach, Is é an sprioc atá le "Aischéimniú Líneach" ná an líne is fearr a aimsiú a oireann do na sonraí seo.

I bhfocail eile, ba mhaith linn an tsamhail a chruthú:

y^=a∗0+a∗1.x∗1+⋯+a∗p.x_p\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}

áit arb é pp líon toisí na hathróige XX.

San Airteagal seo feicfimid conas an fhadhb seo a réiteach i dtrí chás:

  • Nuair is aontoiseach é X, i.e. p=1p=1.

  • Nuair atá X iltoiseach, i.e. p>1p>1.

  • Ag baint úsáide as shliocht grádán.

Is tríthoiseach amháin XX (Gnáthchearnóg ar a laghad)

Tá cruth ar an tsamhail is mian linn a chruthú:

y^=a∗0+a∗1.x\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x

Cuimhnigh gurb é an sprioc atá le cúlchéimniú líneach ná an líne is fearr a oireann do na sonraí a aimsiú. I bhfocail eile, ní mór dúinn an fad idir na pointí sonraí agus an líne a íoslaghdú.

(a∗0^,a∗1^)=argmin⁡(a∗0,a∗1)∑∗i=1N(y∗i−y∗i^)2(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2

=argmin⁡(a∗0,a∗1)∑∗i=1N(y∗i−(a∗0+a∗1.x∗i))2= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2

Cuirimis:

L=∑∗i=1N(y∗i−(a∗0+a∗1.x_i))2L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2

Chun an t-íosmhéid a fháil, ní mór dúinn na cothromóidí seo a leanas a réiteach:

{∂L∂a0=0∂L∂a1=0\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}
{∑i=1N−2(yi−(a0+a1.xi))=0∑i=1N−2xi(yi−(a0+a1.xi))=0\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}

Tosaímid tríd an gcéad chothromóid a fhorbairt:

∑i=1Nyi−∑i=1Na0+∑i=1Na1.xi=0\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\
∑i=1Nyi−Na0+∑i=1Na1.xi=0\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\
a0=∑i=1NyiN−∑i=1NxiNa1a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}
a0=Y−Xa1a_{0} = Y - Xa_{1}

Déanaimid ionadú sa dara cothromóid:

∑i=1Nxi(yi−Y+Xa1−a1xi)=0\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0
∑i=1N(yi−Y)+a1(X−xi)=0\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0
∑i=1N(yi−Y)−∑i=1Na1(xi−X)=0\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0
a1=∑i=1N(yi−Y)∑i=1N(xi−X)=∑i=1N(yi−Y)(xi−X)∑i=1N(xi−X)2=COV(X,Y)VAR(X)a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}

Déanaimid ionadach ar ais in a0a_{0}:

{a0=Y−XCOV(X,Y)VAR(X)a1=COV(X,Y)VAR(X)\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}

Tá XX iltoiseach (Gnáthchearnóg ar a laghad)

Sa chás seo, ní fíoruimhir í XiX_{i} a thuilleadh, ach ina ionad sin is veicteoir é pp:

X∗i=(X∗i1,X∗i2,…,X∗ip)X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})

Mar sin, scríobhtar an tsamhail mar seo a leanas:

y^=a∗0+a∗1x∗1+a∗2x∗2+⋯+a∗px_p\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}

nó, is féidir é a scríobh i bhformáid maitrís:

Y^=X.W\hat{Y} = X.W

áit:

  • Is é YY cruth (N,1)(N, 1).

  • Is é XX cruth (N,p)(N,p).

  • Is é WW cruth (p,1)(p, 1): is é seo an veicteoir paraiméadair (w1,w2,…,wp)(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p}).

Mar an gcéanna leis an gcéad chás, tá sé mar aidhm againn an méid seo a leanas a íoslaghdú:

W^=argmin⁡W∑∗i=1N(y∗i−y_i^)2\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2

Arís cuirimis:

L=∑∗i=1N(y∗i−y_i^)2L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2

=(Y−XW)T(Y−XW)= (Y-XW)^{T}(Y-XW)
=YTY−YTXW−WTXTY+WTXTXW= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW
=YTY−2WTXTY+WTXTXW= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW

Ós rud é go dteastaíonn uainn LL a íoslaghdú maidir le WW, is féidir linn neamhaird a dhéanamh den chéad téarma "YTYY^TY" toisc go bhfuil sé neamhspleách ar WW agus déanaimis an chothromóid seo a leanas a réiteach:

∂(−2WTXTY+WTXTXW)∂W=0\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0
−2XTY+2XTXW^=0-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0
W^=(XTX)−1XTY\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY

Ag baint úsáide as shliocht grádáin

Seo foirmiú an algartam shliocht grádáin:

w∗n+1=w∗n−lr×∂f∂w_nw*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}

Níl le déanamh againn anois ach é a chur i bhfeidhm ar an dá pharaiméadar a0a_{0} agus a1a_{1} (i gcás athróg amháin XX):

{a0(n+1)=a0(n)−lr×∂L∂a0a1(n+1)=a1(n)−lr×∂L∂a1\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}

agus tá a fhios againn:

{∂L∂a0=∑i=1N−2(yi−(a0+a1.xi))∂L∂a1=∑i=1N−2xi(yi−(a0+a1.xi))\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}

Trí ionadú:

{a0(n+1)=a0(n)+2×lr×∑i=1N(yi−(a0(n)+a1(n).xi))a1(n+1)=a1(n)+2×lr×∑i=1Nxi(yi−(a0(n)+a1(n).xi))\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}

Tráth na gCeist

  • Cad é foirmle an veicteora paraiméadair bharrfheabhsaithe i gcás aischéimnithí líneach iltoiseach:

  • COV(X,Y)VAR(Y)\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}

  • COV(X,Y)VAR(X)\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}

  • (XTX)−1XTY(X^TX)^{-1}X^TY "ceart"

  • Cén fáth a gcuirimid an díorthach go 0?

  • Chun teacht ar an extremum. "ceart"

  • Chun an díorthach a íoslaghdú.

  • Gan ach an chuid fíor den díorthach a choinneáil.

  • Cad é cuspóir aischéimnithí líneach?

  • Chun an líne a théann thar na pointí go léir a fháil.

  • Chun an líne is fearr a chuireann síos ar na sonraí a fháil."ceart"

  • Chun an líne is fearr a scarann ​​na sonraí a fháil.

Smaoinigh ar ghairm bheatha ardteicneolaíochta - Níos mó a fhoghlaim faoi Bootcamps Ar Líne CLA

Career Services background pattern

Seirbhísí Gairme

Contact Section background image

Bígí i dteagmháil

Forbhreathnú

Faoi

Cúrsaí

Dlíthiúil

GLAOIGH ORAINN

LEAN ORAINN:

Code Labs Academy © 2025 Gach ceart ar cosaint.