Сызыктуу регрессия

Киришүү

Берилиштер топтому берилген $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$, мисалы, $X_{i}$ жана $Y_{i }$ үзгүлтүксүз, "Сызыктуу регрессиянын" максаты бул маалыматтарга туура келген эң жакшы сызыкты табуу.

Башкача айтканда, биз моделди түзгүбүз келет:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

мында $p$ — $X$ өзгөрмөнүн өлчөмдөрүнүн саны.

Бул макалада биз үч жагдайда бул көйгөйдү чечүү үчүн карап көрөлү:

• X бир өлчөмдүү болгондо, б.а. $p=1$.

• X көп өлчөмдүү болгондо, б.а. $p>1$.

• Градиенттин түшүүсүн колдонуу.

$X$ бир өлчөмдүү (Кадимки эң кичине чарчы)

Биз түзгүбүз келген моделдин формасы:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Сызыктуу регрессиянын максаты маалыматтарга эң туура келген сызыкты табуу экенин унутпаңыз. Башка сөз менен айтканда, биз маалымат чекиттери менен сызык ортосундагы аралыкты минималдаштыруу керек.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

коёлу:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Минималды табуу үчүн төмөнкү теңдемелерди чечүү керек:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Биринчи теңдемени иштеп чыгуу менен баштайбыз:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Экинчи теңдемеге алмаштырабыз:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Биз кайра $a_{0}$ менен алмаштырабыз:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ көп өлчөмдүү (Кадимки эң кичине чарчы)

Бул учурда, $X_{i}$ мындан ары чыныгы сан эмес, анын ордуна $p$ өлчөмүндөгү вектор:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Ошентип, модель төмөнкүчө жазылган:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

же, ал матрицалык форматта жазылышы мүмкүн:

$\hat{Y} = X.W$

кайда:

• $Y$ $(N, 1)$ формасында.

• $X$ $(N, p)$ формасында.

• $W$ $(p, 1)$ формасында: бул $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$ векторунун параметрлери.

Биринчи учурга окшоп, биз төмөнкү көлөмдү минималдаштырууну максат кылабыз:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Дагы айталы:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Биз $W$га карата $L$ды минималдаштыргыбыз келгендиктен, биз биринчи "$Y^TY$" терминин этибарга албай койсок болот, анткени ал $W$га көз каранды эмес жана төмөнкү теңдемени чечели:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Градиенттин түшүүсүн колдонуу

Бул жерде градиенттин түшүү алгоритминин формуласы:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Эми аны $a_{0}$ жана $a_{1}$ эки параметрге колдонуу керек (бир өзгөрмө $X$ болгон учурда):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

жана биз билебиз:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

алмаштыруу боюнча:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Викторина

• Көп өлчөмдүү сызыктуу регрессияда оптималдуу параметрлер векторунун формуласы кандай?

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "туура"

• Эмне үчүн туундуну 0гө коёбуз?

• Экстремумду табуу. "туура"

• Туундуну минималдаштыруу.

• Туундунун чыныгы бөлүгүн гана сактоо.

• Сызыктуу регрессиянын максаты эмне?

• Бардык чекиттерден өткөн сызыкты табуу.

• Маалыматты эң жакшы сүрөттөгөн сызыкты табуу үчүн."туура"

• Маалыматтарды эң жакшы бөлгөн сызыкты табуу.