Tiesinė regresija

Atnaujinta November 15, 2024 4 Perskaityta minučių

Tiesinė regresija cover image

Įvadas

Pateiktas duomenų rinkinys $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$, pvz., $X_{i}$ ir $Y_{i }$ yra ištisiniai, „Tiesinės regresijos“ tikslas yra rasti geriausią eilutę, atitinkančią šiuos duomenis.

Kitaip tariant, norime sukurti modelį:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

kur $p$ yra kintamojo $X$ matmenų skaičius.

Šiame straipsnyje pamatysime, kaip išspręsti šią problemą trimis scenarijais:

  • Kai X yra vienmatis, ty $p=1$.

  • Kai X yra daugiamatis, ty $p>1$.

  • Naudojant gradiento nusileidimą.

$X$ yra vieno matmens (įprastas mažiausias kvadratas)

Modelis, kurį norime sukurti, yra formos:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Atminkite, kad tiesinės regresijos tikslas yra rasti liniją, kuri geriausiai atitinka duomenis. Kitaip tariant, turime sumažinti atstumą tarp duomenų taškų ir linijos.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

Įdėkime:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

Norėdami rasti minimumą, turime išspręsti šias lygtis:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

Pradedame kurdami pirmąją lygtį:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

Antroje lygtyje pakeičiame:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

Pakeičiame atgal $a_{0}$:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$ yra daugiamatis (įprastas mažiausias kvadratas)

Šiuo atveju $X_{i}$ nebėra tikrasis skaičius, o yra $p$ dydžio vektorius:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Taigi modelis parašytas taip:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

arba jis gali būti parašytas matricos formatu:

$$ \hat{Y} = X.W $$

kur:

  • $Y$ yra $(N, 1)$ formos.

  • $X$ yra $(N, p)$ formos.

  • $W$ yra $(p, 1)$ formos: tai yra parametrų vektorius $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Panašiai kaip ir pirmuoju atveju, siekiame iki minimumo sumažinti šį kiekį:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

Dar kartą įdėkime:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

Kadangi norime sumažinti $L$ $W$ atžvilgiu, galime nepaisyti pirmojo termino “$Y^TY$”, nes jis nepriklauso nuo $W$, ir išspręskime šią lygtį:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

Naudojant gradiento nusileidimą

Čia yra gradiento nusileidimo algoritmo formuluotė:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

Dabar tereikia jį pritaikyti dviem parametrams $a_{0}$ ir $a_{1}$ (vieno kintamojo $X$ atveju):

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

ir mes žinome, kad:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

Keičiant:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Viktorina

  • Kokia yra optimalių parametrų vektoriaus formulė daugiamatės tiesinės regresijos atveju:

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ “teisinga”

– Kodėl išvestinę dedame į 0?

  • Rasti ekstremumą. “teisingai”

  • Sumažinti išvestinę priemonę.

– Išvesti tik tikrąją išvestinės dalies dalį.

  • Koks yra tiesinės regresijos tikslas?

  • Rasti liniją, kuri eina pro visus taškus.

– Norėdami rasti eilutę, kuri geriausiai apibūdina duomenis.”teisingai”

  • Norėdami rasti liniją, kuri geriausiai atskiria duomenis.