Wstęp
Biorąc pod uwagę zbiór danych $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$, taki jak $X_{i}$ i $Y_{i }$ są ciągłe. Celem „regresji liniowej” jest znalezienie najlepszej linii pasującej do tych danych.
Innymi słowy, chcemy stworzyć model:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$
gdzie $p$ jest liczbą wymiarów zmiennej $X$.
W tym artykule zobaczymy, jak rozwiązać ten problem w trzech scenariuszach:
-
Gdy X jest jednowymiarowe, tj. $p=1$.
-
Gdy X jest wielowymiarowe, tj. $p>1$.
-
Korzystanie ze zjazdu gradientowego.
$X$ jest jednowymiarowe (zwykła metoda najmniejszych kwadratów)
Model który chcemy stworzyć ma kształt:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$
Pamiętaj, że celem regresji liniowej jest znalezienie linii, która najlepiej pasuje do danych. Innymi słowy, musimy zminimalizować odległość między punktami danych a linią.
$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$
$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$
Włóżmy:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$
Aby znaleźć minimum, musimy rozwiązać następujące równania:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$
Zaczynamy od opracowania pierwszego równania:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$
$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$
Podstawiamy w drugim równaniu:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$
$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$
Podstawiamy z powrotem w $a_{0}$:
$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$
$X$ jest wielowymiarowe (zwykła metoda najmniejszych kwadratów)
W tym przypadku $X_{i}$ nie jest już liczbą rzeczywistą, ale zamiast tego jest wektorem o rozmiarze $p$:
$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$
Zatem wzór zapisuje się w następujący sposób:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$
lub można to zapisać w formacie macierzowym:
$$ \hat{Y} = X.W $$
Gdzie:
-
$Y$ ma kształt $(N, 1)$.
-
$X$ ma kształt $(N, p)$.
-
$W$ ma kształt $(p, 1)$: jest to wektor parametrów $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.
Podobnie jak w pierwszym przypadku dążymy do minimalizacji następującej wielkości:
$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
Znów postawmy:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$
$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$
$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$
Ponieważ chcemy zminimalizować $L$ względem $W$, możemy zignorować pierwszy wyraz „$Y^TY$”, ponieważ jest on niezależny od $W$ i rozwiążemy następujące równanie:
$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$
$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$
$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$
Używanie opadania gradientowego
Oto sformułowanie algorytmu opadania gradientowego:
$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$
Teraz wystarczy zastosować to do dwóch parametrów $a_{0}$ i $a_{1}$ (w przypadku jednej zmiennej $X$):
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$
i wiemy, że:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$
Przez podstawienie:
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$
Kartkówka
-
Jaki jest wzór wektora parametrów optymalnych w przypadku wielowymiarowej regresji liniowej:
-
$\frac{COV(X, Y)}VAR(Y)}$
-
$\frac{COV(X, Y)}VAR(X)}$
-
$(X^TX)^{-1}X^TY$ "poprawnie"
-
Dlaczego podstawiamy pochodną do 0?
-
Aby znaleźć ekstremum. "prawidłowy"
-
Aby zminimalizować pochodną.
-
Aby zachować tylko rzeczywistą część pochodnej.
-
Jaki jest cel regresji liniowej?
-
Aby znaleźć linię przechodzącą przez wszystkie punkty.
-
Aby znaleźć linię, która najlepiej opisuje dane."poprawne"
-
Aby znaleźć linię, która najlepiej oddziela dane.
