Εισαγωγή
Δεδομένου ενός συνόλου δεδομένων $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$ όπως $X_{i}$ και $Y_{i }$ είναι συνεχείς, Ο στόχος της "Γραμμικής παλινδρόμησης" είναι να βρεθεί η καλύτερη γραμμή που ταιριάζει σε αυτά τα δεδομένα.
Με άλλα λόγια, θέλουμε να δημιουργήσουμε το μοντέλο:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$
όπου $p$ είναι ο αριθμός των διαστάσεων της μεταβλητής $X$.
Σε αυτό το άρθρο θα δούμε πώς να λύσουμε αυτό το πρόβλημα σε τρία σενάρια:
-
Όταν το X είναι μονοδιάστατο, δηλαδή $p=1$.
-
Όταν το X είναι πολυδιάστατο, δηλαδή $p>1$.
-
Χρήση κλίσης κατάβασης.
Το ## $X$ είναι μονοδιάστατο (Κανονικό ελάχιστο τετράγωνο)
Το μοντέλο που θέλουμε να δημιουργήσουμε έχει σχήμα:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$
Θυμηθείτε ότι ο στόχος της γραμμικής παλινδρόμησης είναι να βρεθεί η γραμμή που ταιριάζει καλύτερα στα δεδομένα. Με άλλα λόγια, πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε την απόσταση μεταξύ των σημείων δεδομένων και της γραμμής.
$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$
$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$
Ας βάλουμε:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$
Για να βρούμε το ελάχιστο, πρέπει να λύσουμε τις παρακάτω εξισώσεις:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$
Ξεκινάμε αναπτύσσοντας την πρώτη εξίσωση:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$
$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$
Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$
$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$
Αντικαθιστούμε ξανά σε $a_{0}$:
$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$
Το ## $X$ είναι πολυδιάστατο (Κανονικό ελάχιστο τετράγωνο)
Σε αυτήν την περίπτωση, το $X_{i}$ δεν είναι πλέον πραγματικός αριθμός, αλλά είναι ένα διάνυσμα μεγέθους $p$:
$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$
Έτσι, το μοντέλο γράφεται ως εξής:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$
ή, μπορεί να γραφτεί σε μορφή matrix:
$$ \hat{Y} = X.W $$
που:
-
Το $Y$ έχει σχήμα $(N, 1)$.
-
Το $X$ έχει σχήμα $(N, p)$.
-
Το $W$ έχει σχήμα $(p, 1)$: αυτό είναι το διάνυσμα παραμέτρων $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.
Όπως και στην πρώτη περίπτωση, στοχεύουμε να ελαχιστοποιήσουμε την ακόλουθη ποσότητα:
$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
Και πάλι ας βάλουμε:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$
$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$
$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$
Εφόσον θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε το $L$ σε σχέση με το $W$, τότε μπορούμε να αγνοήσουμε τον πρώτο όρο "$Y^TY$" επειδή είναι ανεξάρτητος από το $W$ και ας λύσουμε την ακόλουθη εξίσωση:
$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$
$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$
$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$
Χρήση gradient descent
Εδώ είναι η διατύπωση του αλγόριθμου gradient descent:
$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$
Τώρα το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να το εφαρμόσουμε στις δύο παραμέτρους $a_{0}$ και $a_{1}$ (στην περίπτωση μιας μεταβλητής $X$):
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$
και ξέρουμε ότι:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$
Με αντικατάσταση:
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$
Κουίζ
-
Ποιος είναι ο τύπος του διανύσματος βέλτιστων παραμέτρων στην περίπτωση πολυδιάστατης γραμμικής παλινδρόμησης:
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$
-
$(X^TX)^{-1}X^TY$ "σωστό"
-
Γιατί βάζουμε την παράγωγο στο 0;
-
Να βρω το ακραίο. "σωστός"
-
Για την ελαχιστοποίηση της παραγώγου.
-
Να διατηρείται μόνο το πραγματικό μέρος της παραγώγου.
-
Ποιος είναι ο στόχος της γραμμικής παλινδρόμησης;
-
Να βρείτε τη γραμμή που περνάει από όλα τα σημεία.
-
Για να βρείτε τη γραμμή που περιγράφει καλύτερα τα δεδομένα."σωστό"
-
Για να βρείτε τη γραμμή που διαχωρίζει καλύτερα τα δεδομένα.
