Линейная регрессия

Обновлено на November 15, 2024 4 Прочнет минуты

Линейная регрессия cover image

Введение

Учитывая набор данных $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$, например $X_{i}$ и $Y_{i }$ непрерывны. Цель «линейной регрессии» — найти лучшую линию, соответствующую этим данным.

Другими словами, мы хотим создать модель:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

где $p$ — количество размерностей переменной $X$.

В этой статье мы увидим, как решить эту проблему в трех сценариях:

  • Когда X одномерен, т.е. $p=1$.

  • Когда X многомерен, т.е. $p>1$.

  • Использование градиентного спуска.

$X$ является одномерным (обычный наименьший квадрат).

Модель, которую мы хотим создать, имеет форму:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Помните, что цель линейной регрессии — найти линию, которая лучше всего соответствует данным. Другими словами, нам нужно минимизировать расстояние между точками данных и линией.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

Давайте поставим:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

Чтобы найти минимум, нам нужно решить следующие уравнения:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

Начнем с разработки первого уравнения:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

Подставляем во второе уравнение:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

Подставляем обратно в $a_{0}$:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$ многомерен (обычный наименьший квадрат).

В этом случае $X_{i}$ больше не является действительным числом, а представляет собой вектор размера $p$:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Итак, модель записывается следующим образом:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

или это можно записать в матричном формате:

$$ \hat{Y} = X.W $$

где:

  • $Y$ имеет форму $(N, 1)$.

  • $X$ имеет форму $(N, p)$.

  • $W$ имеет форму $(p, 1)$: это вектор параметров $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Как и в первом случае, мы стремимся минимизировать следующую величину:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

Еще раз поставим:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

Поскольку мы хотим минимизировать $L$ по отношению к $W$, мы можем игнорировать первый член «$Y^TY$», поскольку он не зависит от $W$, и давайте решим следующее уравнение:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

Использование градиентного спуска

Вот формулировка алгоритма градиентного спуска:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

Теперь все, что нам нужно сделать, это применить его к двум параметрам $a_{0}$ и $a_{1}$ (в случае одной переменной $X$):

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

и мы знаем, что:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

По замене:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Контрольный опрос

  • Какова формула вектора оптимальных параметров в случае многомерной линейной регрессии:

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ “правильно”

  • Почему мы приравниваем производную к 0?

  • Найти экстремум. “правильный”

  • Минимизировать производную.

  • Оставлять только реальную часть производной.

  • Какова цель линейной регрессии?

  • Найти линию, проходящую через все точки.

  • Чтобы найти строку, которая лучше всего описывает данные.”правильно”

  • Найти линию, которая лучше всего разделяет данные.

Нет степени? Нет проблем – Станьте специалистом по данным с Code Labs Academy.