Введение
Учитывая набор данных $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$, например $X_{i}$ и $Y_{i }$ непрерывны. Цель «линейной регрессии» — найти лучшую линию, соответствующую этим данным.
Другими словами, мы хотим создать модель:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$
где $p$ — количество размерностей переменной $X$.
В этой статье мы увидим, как решить эту проблему в трех сценариях:
-
Когда X одномерен, т.е. $p=1$.
-
Когда X многомерен, т.е. $p>1$.
-
Использование градиентного спуска.
$X$ является одномерным (обычный наименьший квадрат).
Модель, которую мы хотим создать, имеет форму:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$
Помните, что цель линейной регрессии — найти линию, которая лучше всего соответствует данным. Другими словами, нам нужно минимизировать расстояние между точками данных и линией.
$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$
$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$
Давайте поставим:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$
Чтобы найти минимум, нам нужно решить следующие уравнения:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$
Начнем с разработки первого уравнения:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$
$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$
Подставляем во второе уравнение:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$
$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$
Подставляем обратно в $a_{0}$:
$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$
$X$ многомерен (обычный наименьший квадрат).
В этом случае $X_{i}$ больше не является действительным числом, а представляет собой вектор размера $p$:
$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$
Итак, модель записывается следующим образом:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$
или это можно записать в матричном формате:
$$ \hat{Y} = X.W $$
где:
-
$Y$ имеет форму $(N, 1)$.
-
$X$ имеет форму $(N, p)$.
-
$W$ имеет форму $(p, 1)$: это вектор параметров $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.
Как и в первом случае, мы стремимся минимизировать следующую величину:
$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
Еще раз поставим:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$
$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$
$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$
Поскольку мы хотим минимизировать $L$ по отношению к $W$, мы можем игнорировать первый член «$Y^TY$», поскольку он не зависит от $W$, и давайте решим следующее уравнение:
$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$
$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$
$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$
Использование градиентного спуска
Вот формулировка алгоритма градиентного спуска:
$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$
Теперь все, что нам нужно сделать, это применить его к двум параметрам $a_{0}$ и $a_{1}$ (в случае одной переменной $X$):
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$
и мы знаем, что:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$
По замене:
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$
Контрольный опрос
-
Какова формула вектора оптимальных параметров в случае многомерной линейной регрессии:
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$
-
$(X^TX)^{-1}X^TY$ "правильно"
-
Почему мы приравниваем производную к 0?
-
Найти экстремум. "правильный"
-
Минимизировать производную.
-
Оставлять только реальную часть производной.
-
Какова цель линейной регрессии?
-
Найти линию, проходящую через все точки.
-
Чтобы найти строку, которая лучше всего описывает данные."правильно"
-
Найти линию, которая лучше всего разделяет данные.
