Линейная регрессия

Введение

Учитывая набор данных $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$, например $X_{i}$ и $Y_{i }$ непрерывны. Цель «линейной регрессии» — найти лучшую линию, соответствующую этим данным.

Другими словами, мы хотим создать модель:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

где $p$ — количество размерностей переменной $X$.

В этой статье мы увидим, как решить эту проблему в трех сценариях:

• Когда X одномерен, т.е. $p=1$.

• Когда X многомерен, т.е. $p>1$.

• Использование градиентного спуска.

$X$ является одномерным (обычный наименьший квадрат).

Модель, которую мы хотим создать, имеет форму:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Помните, что цель линейной регрессии — найти линию, которая лучше всего соответствует данным. Другими словами, нам нужно минимизировать расстояние между точками данных и линией.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Давайте поставим:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Чтобы найти минимум, нам нужно решить следующие уравнения:

Начнем с разработки первого уравнения:

Подставляем во второе уравнение:

Подставляем обратно в $a_{0}$:

$X$ многомерен (обычный наименьший квадрат).

В этом случае $X_{i}$ больше не является действительным числом, а представляет собой вектор размера $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Итак, модель записывается следующим образом:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

или это можно записать в матричном формате:

$\hat{Y} = X.W$

где:

• $Y$ имеет форму $(N, 1)$.

• $X$ имеет форму $(N, p)$.

• $W$ имеет форму $(p, 1)$: это вектор параметров $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Как и в первом случае, мы стремимся минимизировать следующую величину:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Еще раз поставим:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Поскольку мы хотим минимизировать $L$ по отношению к $W$, мы можем игнорировать первый член «$Y^TY$», поскольку он не зависит от $W$, и давайте решим следующее уравнение:

Использование градиентного спуска

Вот формулировка алгоритма градиентного спуска:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Теперь все, что нам нужно сделать, это применить его к двум параметрам $a_{0}$ и $a_{1}$ (в случае одной переменной $X$):

и мы знаем, что:

По замене:

Контрольный опрос

• Какова формула вектора оптимальных параметров в случае многомерной линейной регрессии:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "правильно"

• Почему мы приравниваем производную к 0?

• Найти экстремум. "правильный"

• Минимизировать производную.

• Оставлять только реальную часть производной.

• Какова цель линейной регрессии?

• Найти линию, проходящую через все точки.

• Чтобы найти строку, которая лучше всего описывает данные."правильно"

• Найти линию, которая лучше всего разделяет данные.

---

Нет степени? Нет проблем – Станьте специалистом по данным с Code Labs Academy.