Erregresio lineala

Eguneratua September 24, 2024 4 Irakurri minutuak

Erregresio lineala cover image

Sarrera

$D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$ datu multzo bat emanda, hala nola $X_{i}$ eta $Y_{i }$ etengabeak dira, “Erregresio lineala”ren helburua datu hauetara egokitzen den lerrorik onena aurkitzea da.

Beste era batera esanda, eredua sortu nahi dugu:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

non $p$ $X$ aldagaiaren dimentsio kopurua den.

Artikulu honetan arazo hau hiru eszenatokitan nola konpondu ikusiko dugu:

  • X dimentsio bakarrekoa denean, hau da, $p=1$.

  • X dimentsio anitzekoa denean, hau da, $p>1$.

  • Jaitsiera desnibela erabiliz.

$X$ dimentsio bakarrekoa da (Kuratu txikien arrunta)

Sortu nahi dugun eredua formakoa da:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Gogoratu erregresio linealaren helburua datuetara hobekien egokitzen den zuzena aurkitzea dela. Beste era batera esanda, datu-puntuen eta lerroaren arteko distantzia minimizatu behar dugu.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

Jar dezagun:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

Minimoa aurkitzeko, honako ekuazio hauek ebatzi behar ditugu:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

Lehenengo ekuazioa garatzen hasiko gara:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

Bigarren ekuazioan ordezkatuko dugu:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

Berriz ordezkatzen dugu $a_{0}$:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$ dimentsio anitzekoa da (Kuratu txikien arrunta)

Kasu honetan, $X_{i}$ jada ez da zenbaki erreala, baizik eta $p$ tamainako bektore bat da:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Beraz, eredua honela idatzita dago:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

edo, matrize formatuan idatz daiteke:

$$ \hat{Y} = X.W $$

non:

  • $Y$ $(N, 1)$ formakoa da.

  • $X$ $(N, p)$ formakoa da.

  • $W$ $(p, 1)$ formakoa da: hau da $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$ parametroen bektorea.

Lehenengo kasuaren antzera, kantitate hau minimizatzea dugu helburu:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

Jar dezagun berriro:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$L$ $W$-ri dagokionez minimizatu nahi dugunez, “$Y^TY$” lehen terminoa alde batera utzi dezakegu, $W$-tik independentea delako eta ebatzi dezagun ekuazio hau:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

Jaitsiera gradientea erabiliz

Hona hemen gradienteen jaitsieraren algoritmoaren formulazioa:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

Orain egin behar duguna da $a_{0}$ eta $a_{1}$ bi parametroetan aplikatzea ($X$ aldagai bakarraren kasuan):

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

eta badakigu:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

Ordezkapen bidez:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Galdetegia

  • Zein da parametro optimoen bektorearen formula dimentsio anitzeko erregresio linealaren kasuan:

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ “zuzena”

  • Zergatik jartzen dugu deribatua 0ra?

  • Muturrekoa aurkitzeko. “zuzena”

  • Deribatua minimizatzeko.

  • Deribatuaren zati erreala soilik gordetzea.

  • Zein da erregresio linealaren helburua?

  • Puntu guztietatik pasatzen den zuzena aurkitzea.

  • Datuak hobekien deskribatzen dituen lerroa aurkitzeko.”zuzena”

  • Datuak ondoen bereizten dituen lerroa aurkitzeko.