Lineáris regresszió

Bevezetés

Adott egy $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$ adatkészlet, például $X_{i}$ és $Y_{i A }$ folyamatos, A "Lineáris regresszió" célja az adatokhoz illeszkedő legjobb vonal megtalálása.

Más szavakkal, a modellt szeretnénk létrehozni:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

ahol $p$ a $X$ változó dimenzióinak száma.

Ebben a cikkben meglátjuk, hogyan lehet megoldani ezt a problémát három forgatókönyv szerint:

• Ha X egydimenziós, azaz $p=1$.

• Ha X többdimenziós, azaz $p>1$.

• Gradiens süllyedés használata.

$X$ egydimenziós (közönséges legkisebb négyzet)

A létrehozni kívánt modell a következő alakú:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Ne feledje, hogy a lineáris regresszió célja az adatokhoz legjobban illeszkedő egyenes megtalálása. Más szóval, minimalizálnunk kell az adatpontok és a vonal közötti távolságot.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Tegyük fel:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

A minimum meghatározásához a következő egyenleteket kell megoldanunk:

Kezdjük az első egyenlet kidolgozásával:

A második egyenletben behelyettesítjük:

Visszacseréljük $a_{0}$-ban:

$X$ többdimenziós (közönséges legkisebb négyzet)

Ebben az esetben a $X_{i}$ már nem valós szám, hanem egy $p$ méretű vektor:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Tehát a modell a következőképpen van írva:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

vagy mátrix formátumban is írható:

$\hat{Y} = X.W$

ahol:

• $Y$ $(N, 1)$ alakú.

• $X$ $(N, p)$ alakú.

• A $W$ $(p, 1)$ alakú: ez a $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$ paramétervektor.

Az első esethez hasonlóan a következő mennyiség minimalizálására törekszünk:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Tegyük fel még egyszer:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Mivel a $L$-t szeretnénk minimalizálni a $W$-hoz képest, ezért figyelmen kívül hagyhatjuk az első "$Y^TY$" tagot, mert független a $W$-tól, és oldjuk meg a következő egyenletet:

Gradiens süllyedés használata

Íme a gradiens süllyedés algoritmusának megfogalmazása:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Most már csak annyit kell tennünk, hogy alkalmazzuk a két paraméterre: $a_{0}$ és $a_{1}$ (egy változó esetén: $X$):

és tudjuk, hogy:

Cseréléssel:

Kvíz

• Mi az optimális paramétervektor képlete többdimenziós lineáris regresszió esetén:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "helyes"

• Miért tesszük a deriváltot 0-ra?

• Megtalálni a végletet. "helyes"

• A derivált minimálisra csökkentése.

• Csak a származék valódi részét megtartani.

• Mi a lineáris regresszió célja?

• Megtalálni az összes pontot elhaladó egyenest.

• Az adatokat legjobban leíró sor megtalálása."helyes"

• Az adatokat legjobban elválasztó vonal megtalálása.