Lineáris regresszió

Frissítve a July 03, 2024 -en 4 percek olvasása

Lineáris regresszió cover image

Bevezetés

Adott egy $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$ adatkészlet, például $X_{i}$ és $Y_{i A }$ folyamatos, A “Lineáris regresszió” célja az adatokhoz illeszkedő legjobb vonal megtalálása.

Más szavakkal, a modellt szeretnénk létrehozni:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

ahol $p$ a $X$ változó dimenzióinak száma.

Ebben a cikkben meglátjuk, hogyan lehet megoldani ezt a problémát három forgatókönyv szerint:

  • Ha X egydimenziós, azaz $p=1$.

  • Ha X többdimenziós, azaz $p>1$.

  • Gradiens süllyedés használata.

$X$ egydimenziós (közönséges legkisebb négyzet)

A létrehozni kívánt modell a következő alakú:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Ne feledje, hogy a lineáris regresszió célja az adatokhoz legjobban illeszkedő egyenes megtalálása. Más szóval, minimalizálnunk kell az adatpontok és a vonal közötti távolságot.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

Tegyük fel:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

A minimum meghatározásához a következő egyenleteket kell megoldanunk:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

Kezdjük az első egyenlet kidolgozásával:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

A második egyenletben behelyettesítjük:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

Visszacseréljük $a_{0}$-ban:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$ többdimenziós (közönséges legkisebb négyzet)

Ebben az esetben a $X_{i}$ már nem valós szám, hanem egy $p$ méretű vektor:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Tehát a modell a következőképpen van írva:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

vagy mátrix formátumban is írható:

$$ \hat{Y} = X.W $$

ahol:

  • $Y$ $(N, 1)$ alakú.

  • $X$ $(N, p)$ alakú.

  • A $W$ $(p, 1)$ alakú: ez a $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$ paramétervektor.

Az első esethez hasonlóan a következő mennyiség minimalizálására törekszünk:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

Tegyük fel még egyszer:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

Mivel a $L$-t szeretnénk minimalizálni a $W$-hoz képest, ezért figyelmen kívül hagyhatjuk az első “$Y^TY$” tagot, mert független a $W$-tól, és oldjuk meg a következő egyenletet:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

Gradiens süllyedés használata

Íme a gradiens süllyedés algoritmusának megfogalmazása:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

Most már csak annyit kell tennünk, hogy alkalmazzuk a két paraméterre: $a_{0}$ és $a_{1}$ (egy változó esetén: $X$):

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

és tudjuk, hogy:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

Cseréléssel:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Kvíz

  • Mi az optimális paramétervektor képlete többdimenziós lineáris regresszió esetén:

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ “helyes”

  • Miért tesszük a deriváltot 0-ra?

  • Megtalálni a végletet. “helyes”

  • A derivált minimálisra csökkentése.

  • Csak a származék valódi részét megtartani.

  • Mi a lineáris regresszió célja?

  • Megtalálni az összes pontot elhaladó egyenest.

  • Az adatokat legjobban leíró sor megtalálása.”helyes”

  • Az adatokat legjobban elválasztó vonal megtalálása.