线性回归

在August 31, 2024上更新 3分钟阅读

线性回归 cover image

＃＃ 介绍

给定数据集 $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$ 例如 $X_{i}$ 和 $Y_{i }$ 是连续的，“线性回归”的目标是找到适合此数据的最佳直线。

换句话说，我们要创建模型：

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

其中 $p$ 是变量 $X$ 的维数。

在本文中，我们将了解如何在三种情况下解决此问题：

  • 当 X 是一维时，即 $p=1$。

  • 当 X 是多维时，即 $p>1$。

  • 使用梯度下降。

$X$ 是一维的（普通最小二乘法）

我们想要创建的模型具有以下形状：

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

请记住，线性回归的目标是找到最适合数据的直线。换句话说，我们需要最小化数据点和线之间的距离。

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

让我们说：

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

为了找到最小值，我们需要求解以下方程：

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

我们首先建立第一个方程：

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

我们代入第二个方程：

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

我们代入$a_{0}$：

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$ 是多维的（普通最小二乘）

在这种情况下，$X_{i}$不再是一个实数，而是一个大小为$p$的向量：

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

因此，模型写成如下：

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

或者，可以写成矩阵格式：

$$ \hat{Y} = X.W $$

在哪里：

  • $Y$ 的形状为 $(N, 1)$。

  • $X$ 的形状为 $(N, p)$。

  • $W$ 的形状为 $(p, 1)$：这是参数向量 $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$。

与第一种情况类似，我们的目标是尽量减少以下数量：

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

让我们再次提出：

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

由于我们想要相对于 $W$ 最小化 $L$，因此我们可以忽略第一项“$Y^TY$”，因为它独立于 $W$，让我们求解以下方程：

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

使用梯度下降

这是梯度下降算法的公式：

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

现在我们所要做的就是将其应用于两个参数 $a_{0}$ 和 $a_{1}$（在单变量 $X$ 的情况下）：

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

我们知道：

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

通过替换：

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

测验

  • 多维线性回归情况下最优参数向量的公式是什么：

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ “正确”

  • 为什么我们要把导数设为0？

  • 寻找极值。 “正确的”

  • 最小化导数。

  • 只保留导数的实部。

  • 线性回归的目标是什么？

  • 找到经过所有点的线。

  • 找到最能描述数据的行。“正确”

  • 找到最能分隔数据的线。