线性回归

＃＃ 介绍

给定数据集 $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$ 例如 $X_{i}$ 和 $Y_{i }$ 是连续的，“线性回归”的目标是找到适合此数据的最佳直线。

换句话说，我们要创建模型：

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

其中 $p$ 是变量 $X$ 的维数。

在本文中，我们将了解如何在三种情况下解决此问题：

• 当 X 是一维时，即 $p=1$。

• 当 X 是多维时，即 $p>1$。

• 使用梯度下降。

$X$ 是一维的（普通最小二乘法）

我们想要创建的模型具有以下形状：

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

请记住，线性回归的目标是找到最适合数据的直线。换句话说，我们需要最小化数据点和线之间的距离。

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

让我们说：

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

为了找到最小值，我们需要求解以下方程：

我们首先建立第一个方程：

我们代入第二个方程：

我们代入$a_{0}$：

$X$ 是多维的（普通最小二乘）

在这种情况下，$X_{i}$不再是一个实数，而是一个大小为$p$的向量：

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

因此，模型写成如下：

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

或者，可以写成矩阵格式：

$\hat{Y} = X.W$

在哪里：

• $Y$ 的形状为 $(N, 1)$。

• $X$ 的形状为 $(N, p)$。

• $W$ 的形状为 $(p, 1)$：这是参数向量 $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$。

与第一种情况类似，我们的目标是尽量减少以下数量：

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

让我们再次提出：

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

由于我们想要相对于 $W$ 最小化 $L$，因此我们可以忽略第一项“$Y^TY$”，因为它独立于 $W$，让我们求解以下方程：

使用梯度下降

这是梯度下降算法的公式：

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

现在我们所要做的就是将其应用于两个参数 $a_{0}$ 和 $a_{1}$（在单变量 $X$ 的情况下）：

我们知道：

通过替换：

测验

• 多维线性回归情况下最优参数向量的公式是什么：

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ “正确”

• 为什么我们要把导数设为0？

• 寻找极值。 “正确的”

• 最小化导数。

• 只保留导数的实部。

• 线性回归的目标是什么？

• 找到经过所有点的线。

• 找到最能描述数据的行。“正确”

• 找到最能分隔数据的线。