Regresie liniara

Introducere

Dat un set de date $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$ cum ar fi $X_{i}$ și $Y_{i }$ sunt continui. Scopul „Regresiei liniare” este de a găsi cea mai bună linie care se potrivește acestor date.

Cu alte cuvinte, dorim să creăm modelul:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

unde $p$ este numărul de dimensiuni ale variabilei $X$.

În acest articol vom vedea cum să rezolvăm această problemă în trei scenarii:

• Când X este unidimensional, adică $p=1$.

• Când X este multidimensional, adică $p>1$.

• Utilizarea coborârii în gradient.

$X$ este unidimensional (Cel mai mic pătrat obișnuit)

Modelul pe care vrem să-l creăm este de formă:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Amintiți-vă că scopul regresiei liniare este de a găsi dreapta care se potrivește cel mai bine datelor. Cu alte cuvinte, trebuie să minimizăm distanța dintre punctele de date și linie.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Sa punem:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Pentru a găsi minimul, trebuie să rezolvăm următoarele ecuații:

Începem prin a dezvolta prima ecuație:

Inlocuim in a doua ecuatie:

Înlocuim înapoi în $a_{0}$:

$X$ este multidimensional (Cel mai mic pătrat obișnuit)

În acest caz, $X_{i}$ nu mai este un număr real, ci este un vector de mărimea $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Deci, modelul este scris după cum urmează:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

sau, poate fi scris într-un format de matrice:

$\hat{Y} = X.W$

Unde:

• $Y$ are forma $(N, 1)$.

• $X$ are forma $(N, p)$.

• $W$ are forma $(p, 1)$: acesta este vectorul de parametri $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Similar cu primul caz, ne propunem să minimizăm următoarea cantitate:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Din nou să punem:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Deoarece dorim să minimizăm $L$ în raport cu $W$, atunci putem ignora primul termen "$Y^TY$" deoarece este independent de $W$ și să rezolvăm următoarea ecuație:

Folosind coborârea gradientului

Iată formularea algoritmului de coborâre a gradientului:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Acum tot ce trebuie să facem este să o aplicăm pe cei doi parametri $a_{0}$ și $a_{1}$ (în cazul unei singure variabile $X$):

si stim ca:

Prin înlocuire:

Test

• Care este formula vectorului parametrilor optimi în cazul regresiei liniare multidimensionale:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ „corectă”

• De ce punem derivata la 0?

• Pentru a găsi extremul. "corect"

• Pentru a minimiza derivata.

• Pentru a păstra doar partea reală a derivatului.

• Care este obiectivul regresiei liniare?

• Pentru a găsi linia care trece pe lângă toate punctele.

• Pentru a găsi linia care descrie cel mai bine datele."corectă"

• Pentru a găsi linia care separă cel mai bine datele.