Regresie liniara

Actualizat pe July 24, 2024 4 Minute citite

Regresie liniara cover image

Introducere

Dat un set de date $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$ cum ar fi $X_{i}$ și $Y_{i }$ sunt continui. Scopul „Regresiei liniare” este de a găsi cea mai bună linie care se potrivește acestor date.

Cu alte cuvinte, dorim să creăm modelul:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$

unde $p$ este numărul de dimensiuni ale variabilei $X$.

În acest articol vom vedea cum să rezolvăm această problemă în trei scenarii:

  • Când X este unidimensional, adică $p=1$.

  • Când X este multidimensional, adică $p>1$.

  • Utilizarea coborârii în gradient.

$X$ este unidimensional (Cel mai mic pătrat obișnuit)

Modelul pe care vrem să-l creăm este de formă:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$

Amintiți-vă că scopul regresiei liniare este de a găsi dreapta care se potrivește cel mai bine datelor. Cu alte cuvinte, trebuie să minimizăm distanța dintre punctele de date și linie.

$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$

$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$

Sa punem:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$

Pentru a găsi minimul, trebuie să rezolvăm următoarele ecuații:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$

Începem prin a dezvolta prima ecuație:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$

$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$

$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$

Inlocuim in a doua ecuatie:

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$

$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$

$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$

Înlocuim înapoi în $a_{0}$:

$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$

$X$ este multidimensional (Cel mai mic pătrat obișnuit)

În acest caz, $X_{i}$ nu mai este un număr real, ci este un vector de mărimea $p$:

$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$

Deci, modelul este scris după cum urmează:

$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$

sau, poate fi scris într-un format de matrice:

$$ \hat{Y} = X.W $$

Unde:

  • $Y$ are forma $(N, 1)$.

  • $X$ are forma $(N, p)$.

  • $W$ are forma $(p, 1)$: acesta este vectorul de parametri $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Similar cu primul caz, ne propunem să minimizăm următoarea cantitate:

$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

Din nou să punem:

$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$

$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$

$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$

$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$

Deoarece dorim să minimizăm $L$ în raport cu $W$, atunci putem ignora primul termen “$Y^TY$” deoarece este independent de $W$ și să rezolvăm următoarea ecuație:

$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$

$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$

$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$

Folosind coborârea gradientului

Iată formularea algoritmului de coborâre a gradientului:

$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$

Acum tot ce trebuie să facem este să o aplicăm pe cei doi parametri $a_{0}$ și $a_{1}$ (în cazul unei singure variabile $X$):

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$

si stim ca:

$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$

Prin înlocuire:

$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$

Test

  • Care este formula vectorului parametrilor optimi în cazul regresiei liniare multidimensionale:

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

  • $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

  • $(X^TX)^{-1}X^TY$ „corectă”

  • De ce punem derivata la 0?

  • Pentru a găsi extremul. “corect”

  • Pentru a minimiza derivata.

  • Pentru a păstra doar partea reală a derivatului.

  • Care este obiectivul regresiei liniare?

  • Pentru a găsi linia care trece pe lângă toate punctele.

  • Pentru a găsi linia care descrie cel mai bine datele.”corectă”

  • Pentru a găsi linia care separă cel mai bine datele.