Úvod
Daná datová sada $D = {(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})}$, například $X_{i}$ a $Y_{i }$ jsou spojité. Cílem "Lineární regrese" je najít nejlepší čáru, která odpovídá těmto datům.
Jinými slovy, chceme vytvořit model:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x_{p} $$
kde $p$ je počet rozměrů proměnné $X$.
V tomto článku uvidíme, jak tento problém vyřešit ve třech scénářích:
-
Když je X jednorozměrné, tj. $p=1$.
-
Když je X vícerozměrné, tj. $p>1$.
-
Použití gradientu klesání.
$X$ je jednorozměrný (obyčejný nejmenší čtverec)
Model, který chceme vytvořit, má tvar:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}.x $$
Pamatujte, že cílem lineární regrese je najít čáru, která nejlépe odpovídá datům. Jinými slovy, musíme minimalizovat vzdálenost mezi datovými body a čárou.
$$ (\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2 $$
$$ = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2 $$
Položme:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x_{i}))^2 $$
Abychom našli minimum, musíme vyřešit následující rovnice:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases} $$
Začneme vytvořením první rovnice:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\ $$
$$ a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1} $$
$$ a_{0} = Y - Xa_{1} $$
Do druhé rovnice dosadíme:
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0 $$
$$ \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0 $$
$$ a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} $$
Nahradíme zpět v $a_{0}$:
$$ \begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases} $$
$X$ je multidimenzionální (obyčejný nejmenší čtverec)
V tomto případě $X_{i}$ již není skutečné číslo, ale místo toho je to vektor velikosti $p$:
$$ X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip}) $$
Takže model je napsán následovně:
$$ \hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x_{p} $$
nebo může být zapsán v maticovém formátu:
$$ \hat{Y} = X.W $$
kde:
-
$Y$ má tvar $(N, 1)$.
-
$X$ má tvar $(N, p)$.
-
$W$ má tvar $(p, 1)$: toto je vektor parametrů $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.
Podobně jako v prvním případě se snažíme minimalizovat následující množství:
$$ \hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
Znovu dáme:
$$ L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y_{i}})^2 $$
$$ = (Y-XW)^{T}(Y-XW) $$
$$ = Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW $$
$$ = Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW $$
Protože chceme minimalizovat $L$ vzhledem k $W$, můžeme první výraz "$Y^TY$" ignorovat, protože je nezávislý na $W$ a pojďme vyřešit následující rovnici:
$$ \frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0 $$
$$ -2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0 $$
$$ \hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY $$
Použití gradientu klesání
Zde je formulace algoritmu sestupu gradientu:
$$ w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w_{n}} $$
Nyní vše, co musíme udělat, je aplikovat jej na dva parametry $a_{0}$ a $a_{1}$ (v případě jedné proměnné $X$):
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases} $$
a víme, že:
$$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases} $$
Podle náhrady:
$$ \begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases} $$
Kvíz
-
Jaký je vzorec vektoru optimálních parametrů v případě vícerozměrné lineární regrese:
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$
-
$\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$
-
$(X^TX)^{-1}X^TY$ "správně"
-
Proč dáváme derivaci na 0?
-
Abychom našli extrém. "opravit"
-
Chcete-li minimalizovat derivaci.
-
Ponechat pouze skutečnou část derivátu.
-
Co je cílem lineární regrese?
-
Chcete-li najít čáru, která prochází všemi body.
– Chcete-li najít řádek, který nejlépe popisuje data."správné"
- Chcete-li najít řádek, který nejlépe odděluje data.
