Линейная регрессия

Введение

Учитывая набор данных $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$, например $X_{i}$ и $Y_{i }$ непрерывны. Цель «линейной регрессии» — найти лучшую линию, соответствующую этим данным.

Другими словами, мы хотим создать модель:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

где $p$ — количество размерностей переменной $X$.

В этой статье мы увидим, как решить эту проблему в трех сценариях:

• Когда X одномерен, т.е. $p=1$.

• Когда X многомерен, т.е. $p>1$.

• Использование градиентного спуска.

$X$ является одномерным (обычный наименьший квадрат).

Модель, которую мы хотим создать, имеет форму:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Помните, что цель линейной регрессии — найти линию, которая лучше всего соответствует данным. Другими словами, нам нужно минимизировать расстояние между точками данных и линией.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Давайте поставим:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Чтобы найти минимум, нам нужно решить следующие уравнения:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Начнем с разработки первого уравнения:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Подставляем во второе уравнение:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Подставляем обратно в $a_{0}$:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ многомерен (обычный наименьший квадрат).

В этом случае $X_{i}$ больше не является действительным числом, а представляет собой вектор размера $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Итак, модель записывается следующим образом:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

или это можно записать в матричном формате:

$\hat{Y} = X.W$

где:

• $Y$ имеет форму $(N, 1)$.

• $X$ имеет форму $(N, p)$.

• $W$ имеет форму $(p, 1)$: это вектор параметров $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Как и в первом случае, мы стремимся минимизировать следующую величину:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Еще раз поставим:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Поскольку мы хотим минимизировать $L$ по отношению к $W$, мы можем игнорировать первый член «$Y^TY$», поскольку он не зависит от $W$, и давайте решим следующее уравнение:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Использование градиентного спуска

Вот формулировка алгоритма градиентного спуска:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Теперь все, что нам нужно сделать, это применить его к двум параметрам $a_{0}$ и $a_{1}$ (в случае одной переменной $X$):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

и мы знаем, что:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

По замене:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Контрольный опрос

• Какова формула вектора оптимальных параметров в случае многомерной линейной регрессии:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "правильно"

• Почему мы приравниваем производную к 0?

• Найти экстремум. "правильный"

• Минимизировать производную.

• Оставлять только реальную часть производной.

• Какова цель линейной регрессии?

• Найти линию, проходящую через все точки.

• Чтобы найти строку, которая лучше всего описывает данные."правильно"

• Найти линию, которая лучше всего разделяет данные.

---

Нет степени? Нет проблем – Станьте специалистом по данным с Code Labs Academy.