Лінійна регресія

Вступ

Дано набір даних $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$, наприклад $X_{i}$ і $Y_{i }$ є безперервними. Мета «лінійної регресії» полягає в тому, щоб знайти найкращу лінію, яка відповідає цим даним.

Іншими словами, ми хочемо створити модель:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

де $p$ — кількість вимірів змінної $X$.

У цій статті ми побачимо, як вирішити цю проблему за трьома сценаріями:

• Коли X є одновимірним, тобто $p=1$.

• Коли X є багатовимірним, тобто $p>1$.

• Використання градієнтного спуску.

$X$ є одновимірним (звичайний найменший квадрат)

Модель, яку ми хочемо створити, має форму:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Пам’ятайте, що метою лінійної регресії є пошук лінії, яка найкраще відповідає даним. Іншими словами, нам потрібно мінімізувати відстань між точками даних і лінією.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Покладемо:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Щоб знайти мінімум, нам потрібно розв’язати наступні рівняння:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Ми починаємо з розробки першого рівняння:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Підставляємо в друге рівняння:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Підставляємо назад в $a_{0}$:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ є багатовимірним (звичайний найменший квадрат)

У цьому випадку $X_{i}$ більше не є дійсним числом, а натомість це вектор розміру $p$:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Отже, модель записується так:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

або його можна записати в матричному форматі:

$\hat{Y} = X.W$

де:

• $Y$ має форму $(N, 1)$.

• $X$ має форму $(N, p)$.

• $W$ має форму $(p, 1)$: це вектор параметрів $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Подібно до першого випадку, ми прагнемо мінімізувати таку кількість:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Знову поставимо:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Оскільки ми хочемо мінімізувати $L$ відносно $W$, ми можемо ігнорувати перший член "$Y^TY$", оскільки він не залежить від $W$, і давайте розв’яжемо таке рівняння:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Використання градієнтного спуску

Ось формулювання алгоритму градієнтного спуску:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Тепер все, що нам потрібно зробити, це застосувати його до двох параметрів $a_{0}$ і $a_{1}$ (у випадку однієї змінної $X$):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

і ми знаємо, що:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

За заміною:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Вікторина

• Яка формула вектора оптимальних параметрів у випадку багатовимірної лінійної регресії:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "правильно"

• Чому ми ставимо похідну до 0?

• Знайти екстремум. "правильно"

• Мінімізувати похідну.

• Зберігати лише дійсну частину похідної.

• Яка мета лінійної регресії?

• Знайти пряму, яка проходить повз усі точки.

• Щоб знайти рядок, який найкраще описує дані."правильно"

• Щоб знайти лінію, яка найкраще розділяє дані.