Tiesinė regresija

Įvadas

Pateiktas duomenų rinkinys $D = \{(X_{1}, Y_{2}), \dots,(X_{N}, Y_{N})\}$, pvz., $X_{i}$ ir $Y_{i }$ yra ištisiniai, „Tiesinės regresijos“ tikslas yra rasti geriausią eilutę, atitinkančią šiuos duomenis.

Kitaip tariant, norime sukurti modelį:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x*{1} + \dots + a*{p}.x\_{p}$

kur $p$ yra kintamojo $X$ matmenų skaičius.

Šiame straipsnyje pamatysime, kaip išspręsti šią problemą trimis scenarijais:

• Kai X yra vienmatis, ty $p=1$.

• Kai X yra daugiamatis, ty $p>1$.

• Naudojant gradiento nusileidimą.

$X$ yra vieno matmens (įprastas mažiausias kvadratas)

Modelis, kurį norime sukurti, yra formos:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}.x$

Atminkite, kad tiesinės regresijos tikslas yra rasti liniją, kuri geriausiai atitinka duomenis. Kitaip tariant, turime sumažinti atstumą tarp duomenų taškų ir linijos.

$(\hat{a*{0}}, \hat{a*{1}}) = \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y*{i}})^2$

$= \underset{(a*{0}, a*{1})}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x*{i}))^2$

Įdėkime:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - (a*{0} + a*{1}.x\_{i}))^2$

Norėdami rasti minimumą, turime išspręsti šias lygtis:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = 0\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0\\ \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) = 0 \end{cases}$$

Pradedame kurdami pirmąją lygtį:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i} - Na_{0} + \sum\limits_{i=1}^{N} a_{1}.x_{i} = 0\\$$ $$a_{0} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} y_{i}}{N} - \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}}{N}a_{1}$$ $$a_{0} = Y - Xa_{1}$$

Antroje lygtyje pakeičiame:

$$\sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - Y + Xa_{1} - a_{1}x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) + a_{1}(X - x_{i}) = 0$$ $$\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y) - \sum\limits_{i=1}^{N}a_{1}(x_{i} - X) = 0$$ $$a_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - Y)(x_{i} - X)}{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i} - X)^2} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$$

Pakeičiame atgal $a_{0}$:

$$\begin{cases} a_{0} = Y - X\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}\\ a_{1} = \frac{COV(X, Y)}{VAR(X)} \end{cases}$$

$X$ yra daugiamatis (įprastas mažiausias kvadratas)

Šiuo atveju $X_{i}$ nebėra tikrasis skaičius, o yra $p$ dydžio vektorius:

$X*{i} = (X*{i1},X*{i2},\dots,X*{ip})$

Taigi modelis parašytas taip:

$\hat{y} = a*{0} + a*{1}x*{1} + a*{2}x*{2} + \dots + a*{p}x\_{p}$

arba jis gali būti parašytas matricos formatu:

$\hat{Y} = X.W$

kur:

• $Y$ yra $(N, 1)$ formos.

• $X$ yra $(N, p)$ formos.

• $W$ yra $(p, 1)$ formos: tai yra parametrų vektorius $(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{p})$.

Panašiai kaip ir pirmuoju atveju, siekiame iki minimumo sumažinti šį kiekį:

$\hat{W} = \underset{W}{\operatorname{argmin}} \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

Dar kartą įdėkime:

$L = \sum\limits*{i=1}^{N} (y*{i} - \hat{y\_{i}})^2$

$$= (Y-XW)^{T}(Y-XW)$$ $$= Y^TY-Y^TXW-W^TX^TY+W^TX^TXW$$ $$= Y^TY-2W^TX^TY+W^TX^TXW$$

Kadangi norime sumažinti $L$ $W$ atžvilgiu, galime nepaisyti pirmojo termino "$Y^TY$", nes jis nepriklauso nuo $W$, ir išspręskime šią lygtį:

$$\frac{\partial (-2W^TX^TY+W^TX^TXW)}{\partial W} = 0$$ $$-2X^TY+2X^TX\hat{W} = 0$$ $$\hat{W} = (X^TX)^{-1}X^TY$$

Naudojant gradiento nusileidimą

Čia yra gradiento nusileidimo algoritmo formuluotė:

$w*{n+1} = w*{n} - lr \times \frac{\partial f}{\partial w\_{n}}$

Dabar tereikia jį pritaikyti dviem parametrams $a_{0}$ ir $a_{1}$ (vieno kintamojo $X$ atveju):

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{0}}\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} - lr \times \frac{\partial L}{\partial a_{1}} \end{cases}$$

ir mes žinome, kad:

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial a_{0}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i}))\\ \frac{\partial L}{\partial a_{1}} = \sum\limits_{i=1}^{N} -2x_{i}(y_{i} - (a_{0} + a_{1}.x_{i})) \end{cases}$$

Keičiant:

$$\begin{cases} a_{0}^{(n+1)} = a_{0}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} (y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i}))\\ a_{1}^{(n+1)} = a_{1}^{(n)} + 2 \times lr \times \sum\limits_{i=1}^{N} x_{i}(y_{i} - (a_{0}^{(n)} + a_{1}^{(n)}.x_{i})) \end{cases}$$

Viktorina

• Kokia yra optimalių parametrų vektoriaus formulė daugiamatės tiesinės regresijos atveju:

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(Y)}$

• $\frac{COV(X, Y)}{VAR(X)}$

• $(X^TX)^{-1}X^TY$ "teisinga"

– Kodėl išvestinę dedame į 0?

• Rasti ekstremumą. "teisingai"

• Sumažinti išvestinę priemonę.

– Išvesti tik tikrąją išvestinės dalies dalį.

• Koks yra tiesinės regresijos tikslas?

• Rasti liniją, kuri eina pro visus taškus.

– Norėdami rasti eilutę, kuri geriausiai apibūdina duomenis."teisingai"

• Norėdami rasti liniją, kuri geriausiai atskiria duomenis.

---

• Neturite diplomo? Jokių problemų – tapkite duomenų mokslininku su Code Labs Academy.*