Einstein-oppsummeringen

Einstein Summation-notasjonen er en kortfattet og kraftig måte å representere tensoroperasjoner på, ofte brukt i fysikk og maskinlæring. Det lar oss skrive komplekse beregninger på tensorer i en kompakt form. Vi vil dekke det grunnleggende om Einstein-summering, hvordan du bruker det i Python med Numpy og Tensorflow, og gir eksempler for å illustrere bruken.

Grunnleggende om Einstein-oppsummering

Einstein Summation-notasjonen (Einsum) er basert på ideen om å summere over gjentatte indekser i tensoruttrykk. Den er basert på følgende to regler:

1. Summering over gjentatte indekser: Hvis en indeks vises to ganger i en term, summeres den over

2. Frie indekser: Indekser som vises bare én gang er frie indekser og representerer aksene til utgangstensoren

La oss illustrere dette med eksemplet med å multiplisere to matriser A og B: den resulterende matrisen C er definert som

$C_{ik} = \sum\limits_{j}^{}A_{ij}B_{jk}$

I Python gir både Numpy- og Tensorflow-bibliotekene en einsum-funksjon.

Numpy

import numpy as np

# Define two matrices A and B
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# Perform matrix multiplication using einsum
C = np.einsum('ij,jk->ik', A, B)

print(C)
# [[19 22]
#  [43 50]]

I eksemplet ovenfor er ij,jk->ik einsum-strengen:

ij representerer indeksene til matrise A

"jk" representerer indeksene til matrise B

->ik spesifiserer indeksene til utmatrisen C

Operasjonen summerer over indeksen j

Den samme koden i Tensorflow ville se ut

import tensorflow as tf

# Define two matrices A and B
A = tf.constant([[1, 2], [3, 4]], dtype=tf.float32)
B = tf.constant([[5, 6], [7, 8]], dtype=tf.float32)

# Perform matrix multiplication using einsum
C = tf.einsum('ij,jk->ik', A, B)

print(C)
# tf.Tensor(
# [[19. 22.]
#  [43. 50.]], shape=(2, 2), dtype=float32)

Flere eksempler

Indre produkt av vektorer

Det indre produktet (punktproduktet) av to vektorer a og b er definert som

$c = \sum\limits_{i}^{}a_{i}b_{i}$

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])

c = np.einsum('i,i->', a, b)

print(c)  # Output: 32

Ytre produkt av vektorer

Det ytre produktet av to vektorer a og b er gitt av:

$C_{ij} = a_{i}b_{j}$

C = np.einsum('i,j->ij', a, b)

print(C)
# Output
# [[4 5 6]
#  [8 10 12]
#  [12 15 18]]

Transponer en matrise

Transponeringen av en matrise A kan oppnås ved å bytte dens indekser

A_transpose = np.einsum('ij->ji', A)

print(A_transpose)
# Output
# [[1. 3.]
#  [2. 4.]]

Spor av en matrise

Sporet til en matrise A er summen av dens diagonale elementer:

$Tr(A) = \sum\limits_{i}^{}A_{ii}A_{ii}$

trace = np.einsum('ii->', A)

print(trace)
# Output: 5.0

Batch Matrix Multiplikasjon

Einsum er spesielt nyttig for batchoperasjoner. Anta at vi har en batch av matrisene A og B, og vi ønsker å multiplisere de tilsvarende matrisene i batchen:

A = np.random.rand(3, 2, 2)
B = np.random.rand(3, 2, 2)

# Perform batch matrix multiplication
C = np.einsum('bij,bjk->bik', A, B)

print(C)

Her representerer 'b' batchdimensjonen.

Fordeler med Einsum-notasjonen

1. Kortfattethet: Einsum-notasjonen er kompakt og kan representere komplekse operasjoner kortfattet

2. Fleksibilitet: Den kan håndtere en lang rekke tensoroperasjoner uten eksplisitt å omforme eller transponere arrays

3. Effektivitet: Mange biblioteker optimaliserer einsum-operasjonene internt, noe som potensielt kan føre til bedre ytelse.