Az Einstein-összegzés egy tömör és hatékony módja a tenzorműveletek ábrázolásának, amelyet gyakran használnak a fizikában és a gépi tanulásban. Lehetővé teszi, hogy összetett számításokat írjunk a tenzorokra kompakt formában. Bemutatjuk az Einstein-összegzés alapjait, hogyan kell használni Pythonban a Numpy-val és a Tensorflow-val, és példákkal illusztráljuk a használatát.
Az Einstein-összegzés alapjai
Az Einstein-összegzési jelölés (Einsum) a tenzorkifejezésekben ismétlődő indexek összegzésének gondolatán alapul. A következő két szabályon alapul:
1. Ismétlődő indexek összegzése: Ha egy index kétszer szerepel egy kifejezésben, akkor összegzésre kerül
2. Szabad indexek: A csak egyszer megjelenő indexek szabad indexek, és a kimeneti tenzor tengelyeit jelentik
Illusztráljuk ezt két A és B mátrix szorzásának példájával: a kapott C mátrixot a következőképpen definiáljuk:
A Pythonban a Numpy és a Tensorflow könyvtárak is biztosítanak einsum függvényt.
Dögös
import numpy as np
# Define two matrices A and B
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
# Perform matrix multiplication using einsum
C = np.einsum('ij,jk->ik', A, B)
print(C)
# [[19 22]
# [43 50]]
A fenti példában az "ij,jk->ik" az einsum karakterlánc:
Az "ij" az A mátrix indexeit jelenti
A "jk" a B mátrix indexeit jelenti
A ->ik
a C kimeneti mátrix indexeit adja meg
A művelet összegzi a j indexet
Ugyanez a kód a Tensorflow-ban nézne ki
import tensorflow as tf
# Define two matrices A and B
A = tf.constant([[1, 2], [3, 4]], dtype=tf.float32)
B = tf.constant([[5, 6], [7, 8]], dtype=tf.float32)
# Perform matrix multiplication using einsum
C = tf.einsum('ij,jk->ik', A, B)
print(C)
# tf.Tensor(
# [[19. 22.]
# [43. 50.]], shape=(2, 2), dtype=float32)
További példák
A vektorok belső terméke
Két a és b vektor belső szorzatát (pontszorzatát) a következőképpen definiáljuk
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
c = np.einsum('i,i->', a, b)
print(c) # Output: 32
A vektorok külső terméke
Két a és b vektor külső szorzata a következőképpen adódik:
C = np.einsum('i,j->ij', a, b)
print(C)
# Output
# [[4 5 6]
# [8 10 12]
# [12 15 18]]
Mátrix transzponálása
Az A mátrix transzponálása az indexeinek felcserélésével érhető el
A_transpose = np.einsum('ij->ji', A)
print(A_transpose)
# Output
# [[1. 3.]
# [2. 4.]]
Mátrix nyoma
Az A mátrix nyomvonala az átlós elemeinek összege:
trace = np.einsum('ii->', A)
print(trace)
# Output: 5.0
Kötegelt mátrixszorzás
Az Einsum különösen hasznos kötegelt műveleteknél. Tegyük fel, hogy van egy köteg A és B mátrixunkból, és meg akarjuk szorozni a kötegben lévő megfelelő mátrixokat:
A = np.random.rand(3, 2, 2)
B = np.random.rand(3, 2, 2)
# Perform batch matrix multiplication
C = np.einsum('bij,bjk->bik', A, B)
print(C)
Itt a "b" a köteg dimenzióját jelenti.
Az Einsum jelölés előnyei
1. Tömörség: Az Einsum jelölés kompakt, és tömören ábrázolhatja az összetett műveleteket
2. Rugalmasság: A tenzorműveletek széles skáláját képes kezelni a tömbök kifejezett átformálása vagy transzponálása nélkül
3. Hatékonyság: Sok könyvtár belsőleg optimalizálja az einsum műveleteket, ami jobb teljesítményt eredményezhet.