Réamhrá
Samhlaigh go bhfuil feidhm $f(x)$ againn agus ba mhaith linn a íosmhéid a fháil. Cad a dhéanfá?
Simplí ceart? Ní mór dúinn ach an chothromóid seo a leanas a réiteach:
$$f'(x) = 0$$
Is é an rud nach mbíonn sé éasca i gcónaí an fhoirmle $f'$ a aimsiú mar is gnách go mbíonn siad thar a bheith casta go háirithe sa domhainfhoghlaim ina ndéileálaimid le feidhmeanna casta. Mar sin ní mór dúinn modh eile a aimsiú a fhéadfaidh íosmhéid feidhme a sholáthar dúinn gan gá le foirmle an díorthach $f'$ a aimsiú.
Déanaimis roinnt intuition a thógáil
Samhlaigh go bhfuil feidhm f againn leis an ngraf comhfhreagrach:
Cuirimis tús le pointe randamach $x_{0}$. Is é an sprioc an pointe seo a bhogadh agus é a dhéanamh níos gaire agus níos gaire do $x*$ ionas go mbeidh $f'($x*$) = 0$. Mar sin is féidir an fhadhb a roinnt ina dhá chuid:
-
Cén treo ar cheart dúinn an pointe $x$ a bhogadh? Clé nó Deas?
-
Cé mhéad ba chóir dúinn é a bhogadh?
An treo
Déanaimis roinnt intuition chun an chéad cheist a fhreagairt. Féach ar an bpointe seo a leanas:
Tabhair faoi deara:
-
nuair atá an pointe $x_{0}$ ar thaobh na láimhe deise den phointe optamach $x*$ téann a líne tadhlaí suas.
-
nuair atá an pointe $x_{0}$ ar thaobh na láimhe deise den phointe optamach $x*$ téann a líne tadhlaí síos.
Socraítear treo na líne ag comhartha a fána:
-
Téann líne suas $\tugann$ go bhfuil an fána $a$ dearfach.
-
Téann líne síos $\tugann$ go bhfuil an fána $a$ diúltach.
Tabhair faoi deara: \
Níl fána na líne tadhlaí d'fheidhm i bpointe áirithe $x_{0}$ níos mó ná an díorthach sa phointe sin $f'(x_{0})$:
$$ tangent(x*{0}): g(x) = f'(x*{0}).(x-x*{0}) + f(x*{0}) $$
Mar sin mar fhreagra ar an gceist "Cá háit ar cheart dúinn $x_{0}$ a bhogadh?":
-
$f'(x_{0}) < 0$ $\Tugann $x_{0}$ ar thaobh na láimhe deise de $x*$$\ le tuiscint$ Ní mór dúinn $x_{0}$ a bhogadh ar chlé.
-
$f'(x_{0}) > 0$ $\ le tuiscint $ $x_{0}$ ar an taobh clé de $x*$ $\le tuiscint$ Ní mór dúinn $x_{0}$ a bhogadh ar dheis.
Na céimeanna
Anois don dara ceist, Cé mhéad ar cheart dúinn $x_{0}$ a bhogadh?
Breathnaigh ar na samplaí seo a leanas:
Is féidir linn a thabhairt i gcrích:
-
Tá $x_{0}$ gar do $x*$ => Tá fána an tadhlaí beag => Tá $f'(x_{0})$ beag.
-
Tá $x_{0}$ i bhfad ó $x*$ => Tá fána an tadhlaí mór => Tá $f'(x_{0})$ mór.
Tríd an dá cheist a fhreagairt, tháinig muid ar an gconclúid nach féidir ach an t-eolas ar an díorthach sa phointe $x_{0}$ go leor léargas a thabhairt dúinn ar threo agus ar fhad an phointe optamach $x_{0}$.
shliocht grádáin
Is éard atá i gceist le ghinealach grádáin foirmiú freagraí an dá cheist roimhe seo. Is algartam atriallach barrfheabhsaithe é a neasaíonn an íosmhéid $x*$ d’fheidhm ag tosú ón bpointe tosaigh randamach $x_{0}$. Luaitear an t-algartam mar seo a leanas:
$$ x*{n+1} = x*{n} - lr \times \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x_{n}} $$
áit:
-
$ \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x*{n}} $ níos mó ná an díorthach $f$ sa phointe $x*{n}$.
-
Is tairiseach dearfach é $lr$ a chinneann cé chomh mór agus a bheidh na céimeanna.
Tabhair faoi deara:
-
Tá $x_{n}$ ar thaobh na láimhe deise de $x*$ => $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x_{n}} > 0 $ => $ x_{n+ 1} = x_{n} - dearfach $ => Bogann $x_{n}$ ar chlé.
-
Tá $x_{n}$ ar an taobh clé de $x*$ => $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x_{n}} < 0$ => $ x*{ n +1} = x*{n} + dearfach $ => Bogann $x_{n}$ ar dheis.
-
$x_{n}$ gar do $x*$ => $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x_{n}$ gar do $0$ => Nuashonrú beag ar $x_{ n}$.
Tráth na gCeist
-
Cathain a stopann an shliocht grádáin ag atriall:
-
Nuair atá $x_{n}$ beag go leor.
-
Nuair atá $x_{n}$ gar do $x_{0}$ .
-
Nuair a bheidh $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x_{n}} = 0 $. XXX
-
Conas $x_{0}$ a roghnú:
-
Piocaimid go randamach é. XXX
-
Glacaimid laistigh de $x{n}$ é.
-
Braitheann sé ar an bhfadhb.
-
Cén fáth a bhfuil gá againn le sliocht grádáin:
-
Toisc nach bhfuil ríomhairí cumhachtach go leor chun díorthaigh a ríomh.
-
Toisc go bhfuil sé thar a bheith deacair foirmlí díorthacha na múnlaí domhainfhoghlama a aimsiú. XXX
-
Toisc go bhfuil níos mó ná íosmhéid áitiúil amháin ag feidhmeanna.
