Les processus gaussiens (GP) constituent un cadre souple et puissant pour modéliser des relations complexes entre variables. À la base, les GP sont une collection de variables aléatoires, dont un nombre fini a une distribution gaussienne commune. Ils sont largement utilisés dans la régression et la modélisation probabiliste en raison de leur capacité à fournir non seulement des prédictions*I mais aussides estimations d'incertitude pour ces prédictions**.
Fondamentalement, les GP supposent que la fonction sous-jacente générant les données n'est pas une fonction fixe, mais une réalisation d'un processus stochastique. Ils sont définis par deux éléments clés :
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Fonction moyenne Mean Function : Cette fonction définit la valeur attendue de la fonction en chaque point de l'espace d'entrée. Elle capture la tendance générale ou le biais des données.
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Fonction de covariance (noyau)I_ : La fonction de covariance détermine la manière dont les valeurs de la fonction à différents points d'entrée varient les unes par rapport aux autres. Elleencode la notion de similarité entre les points d'entréeetgouverne la fluidité et le comportement de la fonction**.
Dans la GP regression, étant donné un ensemble de paires entrée-sortie observées, l'objectif est de prédire la sortie pour de nouveaux points d'entrée tout en estimant l'incertitude associée à ces prédictions. Les GP y parviennent en traitant les sorties comme des variables aléatoires gaussiennes distribuées conjointement. Les fonctions de moyenne et de covariance capturent la croyance préalable sur le comportement de la fonction et, lorsqu'elles sont combinées aux données observées, elles fournissent une distribution postérieure sur les fonctions qui interpolent les données.
L'avantage des GP réside dans leur capacité à modéliser des relations complexes et non linéaires sans imposer une structure de modèle fixe. Ils excellent dans les scénarios où les données sont limitées, car ils capturent intrinsèquement l'incertitude. Les applications comprennent :
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Régressions sur petites donnéesSmall Data Regressions : Lorsque les données sont limitées, les GP peuvent fournir des estimations robustes accompagnées d'une incertitude quantifiée, contrairement à d'autres modèles qui peuvent être suradaptés ou sous-performants en raison du nombre limité d'observations.
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Optimisation bayésienne*** : Les GP sont utilisés pour optimiser des fonctions coûteuses de type boîte noire, lorsque l'évaluation de la fonction est coûteuse et que les estimations de l'incertitude sont cruciales pour guider la recherche de manière efficace.
Cependant, les GP peuvent être exigeants en termes de calcul, car leur complexité informatique s'étend de façon cubique avec le nombre de points de données. Cela peut les rendre moins pratiques pour les ensembles de données à grande échelle où la charge de calcul devient prohibitive. Des techniques comme approximations éparses*_I_I ouutilisation de fonctions noyau spécifiques** peuvent atténuer ce problème dans une certaine mesure, mais elles peuvent encore être moins efficaces que d'autres modèles comme les réseaux neuronaux pour les très grands ensembles de données.
En résumé, les processus gaussiens offrent un cadre puissant pour modéliser des relations complexes, fournir des estimations d'incertitude et exceller dans des scénarios avec des données limitées. Cependant, leur complexité informatique peut poser des problèmes lors du traitement d'ensembles de données à grande échelle. Il est essentiel de trouver un équilibre entre la complexité du modèle et l'efficacité des calculs lorsque l'on envisage d'utiliser des processus gaussiens dans des applications pratiques.
