La seqüència de Fibonacci és un concepte matemàtic fascinant que té implicacions pràctiques en una varietat de camps, com ara la informàtica, la criptografia i l'art. Aquest article examinarà les complexitats de la seqüència de Fibonacci, examinant les seves característiques recursives, la seva rellevància per a la criptografia i la seva connexió amb la proporció àuria.
La seqüència de Fibonacci porta el nom del matemàtic italià Leonardo de Pisa, també conegut com a Fibonacci. Va introduir aquesta seqüència a les matemàtiques occidentals al seu llibre de 1202 "Liber Abaci". Fibonacci estava estudiant el creixement de les poblacions de conills i va utilitzar aquesta seqüència per modelar com creixeria la població amb el temps en condicions ideals. En el seu exemple, va començar amb una parella de conills i va suposar que cada mes, cada parella madura produïa una nova parella, que després també començaria a reproduir-se a partir del segon mes de vida. Això va donar lloc a la seqüència que ara coneixem com la seqüència de Fibonacci.
Així, la successió de Fibonacci és una seqüència de nombres, on cada nombre és la suma dels dos precedents. Comença amb 0 i 1.
Així que va així:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc.
En termes simples, després dels dos primers nombres, cada nombre de la sèrie és la suma dels dos nombres anteriors.
Recursió i implementació de Python
En programació, la seqüència de Fibonacci s'utilitza sovint per il·lustrar el concepte de recursivitat, on una funció s'anomena per resoldre casos més petits del problema. A continuació es mostra una implementació de Python amb recursivitat:
def fibonacci(n):
if n == 0:
return 0
elif n == 1:
return 1
else:
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
for i in range(9):
print(fibonacci(i))
Aquesta funció funciona desglossant recursivament el problema, resolent els subproblemes més petits i després combinant els resultats. No obstant això, val la pena assenyalar que aquesta implementació no és la més eficient, ja que implica càlculs repetits. A la pràctica s'utilitzen sovint mètodes més optimitzats, com ara la memorització o la iteració.
La proporció àuria i la seqüència de Fibonacci
Una de les connexions més intrigants entre la seqüència de Fibonacci i les matemàtiques és la seva associació amb la proporció àuria, simbolitzada comunament per la lletra grega ϕ (phi). La proporció àuria és un nombre irracional aproximadament igual a 1,6180339887 i es defineix com:
$$ \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$
A mesura que avança la seqüència de Fibonacci, la proporció dels nombres successius de Fibonacci convergeix a la proporció àuria. Concretament, per a ( n ), la proporció ( \frac{F(n+1)}{F(n)} ) s'aproxima a ( \phi ).
La proporció àuria no és només un concepte matemàtic, sinó que també ha trobat el seu camí en diversos aspectes del nostre món, com ara la natura, l'art, l'arquitectura i l'anàlisi de la borsa. Aquesta proporció sovint està relacionada amb proporcions estèticament agradables, i la seva connexió amb la seqüència de Fibonacci emfatitza encara més els llaços notables de la seqüència amb el món natural.
Aplicacions del món real
La seqüència de Fibonacci apareix en diversos escenaris del món real, sovint en contextos on el creixement i els patrons estan implicats.
-
Art i arquitectura: la seqüència de Fibonacci i la proporció àuria relacionada s'han utilitzat per crear dissenys estèticament agradables en art i arquitectura. Les proporcions del Partenó, per exemple, sovint es citen com una aplicació de la proporció àuria, que està estretament relacionada amb la seqüència de Fibonacci.
-
Biologia: La disposició de les fulles en una tija, la ramificació dels arbres i els brots de fruites d'una pinya presenten patrons de Fibonacci.
-
Pètals de flors: moltes flors tenen un nombre de pètals que és un nombre de Fibonacci. Per exemple, els lliris tenen 3 pètals, els ranuncles en tenen 5 i les margarides poden tenir 34, 55 o fins i tot 89 pètals.
-
Gira-sols: la disposició de les llavors dels gira-sols sovint segueix els números de Fibonacci, amb espirals de llavors que solen numerar 34, 55 o 89.
-
Fruites i verdures: les espirals de les pinyes, les pinyes i fins i tot el patró de llavors de fruites com les pomes i les taronges sovint s'alineen amb els números de Fibonacci.
-
Informàtica: els nombres de Fibonacci s'utilitzen en algorismes per ordenar, cercar i optimitzar l'estructura de dades.
-
Finances: Alguns comerciants utilitzen els nivells de retrocés de Fibonacci per predir els nivells potencials de suport i resistència als mercats financers.
def golden_ratio(n):
return fibonacci(n + 1) / fibonacci(n)
# Example usage
n = 10
print(golden_ratio(n)) # Outputs an approximation of the golden ratio
Aquesta relació entre la seqüència de Fibonacci i la proporció àuria afegeix una altra capa de profunditat a la importància matemàtica de la seqüència.
Fibonacci en criptografia
La seqüència de Fibonacci també s'utilitza en criptografia, especialment en la generació de nombres pseudoaleatoris i certs sistemes criptogràfics de clau pública. La complexitat i la imprevisibilitat de la seqüència la fan útil per generar claus criptogràfiques. Per exemple, un registre de desplaçament de retroalimentació lineal (LFSR) basat en Fibonacci pot generar seqüències pseudoaleatòries utilitzades en xifratge de flux, equilibrant seguretat i eficiència.
Les seqüències de Fibonacci també troben aplicacions en funcions hash, especialment en àrees crítiques com les signatures digitals i la verificació de la integritat de les dades. La recursivitat inherent a aquestes seqüències ofereix una manera de desenvolupar transformacions complexes i no lineals que són difícils de realitzar enginyeria inversa. Això aporta una mesura de seguretat addicional als algorismes criptogràfics.
La successió de Fibonacci és més que una sèrie de nombres; serveix com a porta per comprendre conceptes matemàtics complexos, principis criptogràfics i la bellesa intrínseca de la natura. Tant si sou un matemàtic, un científic informàtic o un entusiasta del món natural, la seqüència de Fibonacci ofereix vies il·limitades per explorar.
En comprendre la seva naturalesa recursiva, la seva rellevància en la criptografia i la seva connexió amb la proporció àuria, desenvolupem una comprensió més profunda d'aquesta seqüència atemporal i la seva influència significativa en diversos camps.
Bootcamp relacionat: Ciberseguretat | Si us fascina la intersecció de les matemàtiques i la ciberseguretat, penseu a inscriure-us al camp d'inici de ciberseguretat que ofereix Code Labs Academy. Aquest programa complet us proporciona les habilitats i els coneixements essencials per prosperar en el volàtil món de la ciberseguretat, que cobreix temes com l'encriptació, la seguretat de la xarxa i la pirateria ètica.
