Градыентны спуск

Абноўлены на November 15, 2024 3 Прачытаныя хвіліны

Уводзіны

Уявіце, што ў нас ёсць функцыя $f(x)$ і мы хочам знайсці яе мінімум. Што б вы зрабілі?

Проста так? Нам трэба толькі вырашыць наступнае ўраўненне:

$$f’(x) = 0$$

Справа ў тым, што знайсці формулу $f’$ не заўсёды проста, бо яны, як правіла, вельмі складаныя, асабліва ў глыбокім навучанні, дзе мы маем справу са складанымі функцыямі. Такім чынам, нам трэба знайсці іншы метад, які можа даць нам мінімум функцыі без неабходнасці знаходзіць формулу вытворнай $f’$.

Давайце пабудуем інтуіцыю

Дапусцім, што ў нас ёсць функцыя f з адпаведным графікам:

Пачнем са выпадковай кропкі $x_{0}$. Мэта складаецца ў тым, каб перамясціць гэты пункт і зрабіць яго ўсё бліжэй і бліжэй да $x*$ так, каб $f’($x*$) = 0$. Такім чынам, праблему можна падзяліць на дзве часткі:

• У які бок трэба перамясціць пункт $x$ ? Налева або направа?

• На колькі нам гэта трэба рухацца?

Напрамак

Давайце пабудуем інтуіцыю, каб адказаць на першае пытанне. Звярніце ўвагу на наступны пункт:

Звярніце ўвагу, што:

• калі кропка $x_{0}$ знаходзіцца справа ад аптымальнай кропкі $x*$, яе датычная лінія ідзе ўверх.

• калі кропка $x_{0}$ знаходзіцца справа ад аптымальнай кропкі $x*$, яе датычная ідзе ўніз.

Напрамак прамой вызначаецца знакам яе нахілу:

• Лінія ідзе ўверх $\implies$, што нахіл $a$ дадатны.

• Лінія ідзе ўніз $\implies$, нахіл $a$ адмоўны.

Звярніце ўвагу, што: \

Нахіл датычнай да функцыі ў пэўным пункце $x_{0}$ не большы за вытворную ў гэтым пункце $f’(x_{0})$:

$$ tangent(x*{0}): g(x) = f’(x*{0}).(x-x*{0}) + f(x*{0}) $$

Такім чынам, у якасці адказу на пытанне “Куды мы павінны перанесці $x_{0}$?”:

• $f’(x_{0}) < 0$ $\implies$ $x_{0}$ справа ад $x*$ $\implies$ Нам трэба перамясціць $x_{0}$ улева.

• $f’(x_{0}) > 0$ $\implies$ $x_{0}$ злева ад $x*$ $\implies$ Нам трэба перамясціць $x_{0}$ справа.

Крокі

А цяпер другое пытанне: Колькі мы павінны перанесці $x_{0}$?

Зірніце на наступныя прыклады:

Мы можам зрабіць выснову, што:

• $x_{0}$ блізка да $x*$ => Нахіл датычнай малы => $f’(x_{0})$ малы.

• $x_{0}$ аддалены ад $x*$ => Нахіл датычнай вялікі => $f’(x_{0})$ вялікі.

Адказаўшы на абодва пытанні, мы прыйшлі да высновы, што толькі веданне вытворнай у пункце $x_{0}$ можа даць нам шмат інфармацыі аб напрамку і адлегласці аптымальнага пункта $x_{0}$.

Градыентны спуск

Градыентны спуск - гэта фармулёўка адказаў на папярэднія два пытанні. Гэта ітэрацыйны алгарытм аптымізацыі, які набліжае мінімум $x*$ функцыі, пачынаючы з выпадковай пачатковай кропкі $x_{0}$. Алгарытм дзеянняў гучыць так:

$$ x*{n+1} = x*{n} - lr \times \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x_{n}} $$

дзе:

• $ \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x*{n}} $ не больш чым вытворная $f$ у пункце $x*{n}$.

• $lr$ - гэта станоўчая канстанта, якая вызначае, наколькі вялікімі будуць крокі.

Звярніце ўвагу, што:

• $x_{n}$ знаходзіцца справа ад $x*$ => $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x_{n}} > 0 $ => $ x_{n+ 1} = x_{n} - станоўчы $ => $x_{n}$ рухаецца ўлева.

• $x_{n}$ знаходзіцца злева ад $x*$ => $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x_{n}} < 0$ => $ x*{n +1} = x*{n} + станоўчы $ => $x_{n}$ рухаецца ўправа.

• $x_{n}$ блізка да $x*$ => $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x_{n}}$ блізка да $0$ => Невялікае абнаўленне да $x_{ n}$.

Віктарына

• Калі градыентны спуск спыняе ітэрацыю:

• Калі $x_{n}$ дастаткова малы.

• Калі $x_{n}$ блізка да $x_{0}$.

• Калі $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x_{n}} = 0 $. XXX

• Як мы выбіраем $x_{0}$:

• Мы выбіраем гэта выпадкова. XXX

• Мы прымаем гэта ў раёне $x_{n}$.

— Гэта залежыць ад праблемы.

• Навошта нам градыентны спуск:

— Таму што кампутары недастаткова магутныя, каб вылічваць вытворныя.

• Таму што вельмі цяжка знайсці формулы вытворных мадэляў глыбокага навучання. XXX

• Таму што функцыі маюць больш чым адзін лакальны мінімум.

Асвойце Навуку аб дадзеных і штучны інтэлект з Code Labs Academy! Далучайцеся да нашага онлайн-курса навучання – даступныя гнуткія варыянты няпоўнага і поўнага працоўнага дня.